Visų geometrijų plotų formulės. Kaip apskaičiuoti ir pažymėti plotą. Trapecijos ploto formulės

Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus triukus, apie kuriuos mes kalbėsime.

Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!

Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, norint išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius antroje matematikos profilio egzamino dalyje, taip pat naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.

O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.

1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – suskaidykime šią figūrą į tas, apie kurias visi žinome, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.

Padalinkite šį keturkampį horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra Ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .

Atsakymas:.

2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip bet kokių sričių skirtumas.

Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus pagrindas ir aukštis šiame trikampyje! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiakampių trikampių plotų skirtumui. Matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .

Atsakymas:.

3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros, o jos dalies plotą. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį. Raskite spindulio apskritimo, kurio lanko ilgis lygus, sektoriaus plotą. .

Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus , Kadangi . Belieka išsiaiškinti, kokia apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra (nuo), o šio sektoriaus lanko ilgis yra , todėl lanko ilgis kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, ant kurio remiasi šis lankas, taip pat yra kartų mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.

Ploto formulė Būtina nustatyti figūros plotą, kuris yra tikrosios vertės funkcija, apibrėžta tam tikroje figūrų klasėje Euklido plokštumoje ir tenkinanti 4 sąlygas:

1. Teigiamas – plotas negali būti mažesnis už nulį;
2. Normalizavimas - kvadrato, kurio kraštinė yra vienybės, plotas yra 1;
3. Sutapimas – sutampančios figūros turi vienodą plotą;
4. Adityvumas - 2 figūrų sąjungos plotas be bendrų vidinių taškų yra lygus šių figūrų plotų sumai.

Geometrinių formų ploto formulės.

Geometrinė figūra	Formulė	Piešimas
Sudėjus atstumus tarp išgaubto keturkampio priešingų kraštinių vidurio taškų, rezultatas bus lygus jo pusperimetrui.
Apskritimo sektorius. Apskritimo sektoriaus plotas lygus jo lanko ir pusės spindulio sandaugai.
apskritimo segmentas. Norint gauti segmento ASB plotą, pakanka atimti trikampio AOB plotą iš sektoriaus AOB ploto.	S = 1/2 R(s – AC)
Elipsės plotas yra lygus elipsės didžiosios ir mažosios pusašių ilgių sandaugai, skaičiuojant pi.
Elipsė. Kitas variantas, kaip apskaičiuoti elipsės plotą, yra per du jos spindulius.
Trikampis. Per pagrindą ir aukštį. Apskritimo ploto formulė pagal spindulį ir skersmenį.
Kvadratas. Per jo pusę. Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadratas. Per savo įstrižainę. Kvadrato plotas yra pusė jo įstrižainės ilgio kvadrato.
taisyklingas daugiakampis. Norint nustatyti taisyklingo daugiakampio plotą, būtina jį padalyti į lygius trikampius, kurie turėtų bendrą viršūnę įbrėžto apskritimo centre.	S= r p = 1/2 r n a

Geometrinis plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, apribota uždaru šios figūros kontūru). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

1. Trikampio ploto formulė kraštinei ir aukščiui
   Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
   
2. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir apibrėžto apskritimo spindulys
   
3. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir įbrėžto apskritimo spindulys
   Trikampio plotas lygi trikampio pusės perimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.
   
kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,

Kvadratinių plotų formulės

1. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį
   kvadratinis plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
2. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į įstrižainės ilgį
   kvadratinis plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
   

   S =	1	2
   	2

kur S yra kvadrato plotas,
yra kvadrato kraštinės ilgis,
yra kvadrato įstrižainės ilgis.

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas yra lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai

kur S yra stačiakampio plotas,
yra stačiakampio kraštinių ilgiai.

Lygiagretainio ploto formulės

1. Lygiagretaus ploto formulė šonų ilgiui ir aukščiui
   Lygiagretaus plotas
2. Lygiagretainio ploto formulė, nurodyta dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų
   Lygiagretaus plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
   

   a b sinα

kur S yra lygiagretainio plotas,
yra lygiagretainio kraštinių ilgiai,
yra lygiagretainio aukštis,
yra kampas tarp lygiagretainio kraštinių.

Rombo ploto formulės

1. Rombo ploto formulė, nurodyta kraštinės ilgiu ir aukščiu
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
2. Rombo ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį ir kampą
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
3. Rombo ploto formulė iš jo įstrižainių ilgių
   Rombo sritis yra lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.
kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.

Trapecijos ploto formulės

1. Garnio formulė trapecijai

   kur S yra trapecijos plotas,
   - trapecijos pagrindų ilgis,
   - trapecijos kraštinių ilgis,
   

Geometrinių figūrų plotai yra skaitinės reikšmės, apibūdinančios jų dydį dvimatėje erdvėje. Šią vertę galima išmatuoti sisteminiais ir nesisteminiais vienetais. Taigi, pavyzdžiui, nesisteminis ploto vienetas yra šimtas hektaras. Taip yra, jei išmatuotas paviršius yra žemės sklypas. Sistemos ploto vienetas yra ilgio kvadratas. SI sistemoje įprasta manyti, kad plokščio paviršiaus ploto vienetas yra kvadratinis metras. CGS ploto vienetas išreiškiamas kvadratiniais centimetrais.

Geometrija ir ploto formulės yra neatsiejamai susijusios. Šis ryšys slypi tame, kad plokščių figūrų plotai apskaičiuojami būtent pagal jų taikymą. Daugeliui figūrų išvedami keli variantai, pagal kuriuos apskaičiuojami jų kvadratiniai dydžiai. Remdamiesi problemos teiginio duomenimis, galime nustatyti paprasčiausią jos sprendimo būdą. Tai palengvina skaičiavimą ir sumažina skaičiavimo klaidų tikimybę iki minimumo. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite pagrindinę geometrijos figūrų sritį.

Bet kurio trikampio ploto nustatymo formulės pateikiamos keliais būdais:

1) Trikampio plotas apskaičiuojamas pagal pagrindą a ir aukštį h. Pagrindas yra figūros pusė, ant kurios nuleistas aukštis. Tada trikampio plotas yra:

2) Stačiojo trikampio plotas apskaičiuojamas lygiai taip pat, jei hipotenuzė laikoma pagrindu. Tačiau jei koją imame kaip pagrindą, stačiakampio trikampio plotas bus lygus perpus padalytų kojų sandaugai.

Bet kurio trikampio ploto apskaičiavimo formulės tuo nesibaigia. Kitoje išraiškoje yra kraštinės a, b ir kampo γ tarp a ir b sinusoidinė funkcija. Sinuso reikšmė pateikiama lentelėse. Jį taip pat galima rasti naudojant skaičiuotuvą. Tada trikampio plotas yra:

Pagal šią lygybę taip pat galite įsitikinti, kad stačiojo trikampio plotas nustatomas pagal kojų ilgius. Nes kampas γ yra stačiakampis, todėl stačiojo trikampio plotas apskaičiuojamas nedauginant iš sinuso funkcijos.

3) Apsvarstykite specialų atvejį – taisyklingąjį trikampį, kurio kraštinė a žinoma pagal sąlygą arba sprendžiant galima rasti jos ilgį. Apie figūrą geometrijos uždavinyje daugiau nieko nežinoma. Tada kaip rasti plotą pagal šią sąlygą? Šiuo atveju taikoma taisyklingo trikampio ploto formulė:

Stačiakampis

Kaip rasti stačiakampio plotą ir naudoti kraštinių, turinčių bendrą viršūnę, matmenis? Skaičiavimo išraiška yra tokia:

Jei norite naudoti įstrižainių ilgius stačiakampio plotui apskaičiuoti, jums reikia kampo, susidarančio joms susikerta, sinusinės funkcijos. Stačiakampio ploto formulė yra tokia:

Kvadratas

Kvadrato plotas apibrėžiamas kaip antrasis kraštinės ilgio laipsnis:

Įrodymas išplaukia iš apibrėžimo, kad stačiakampis vadinamas kvadratu. Visos kvadratą sudarančios pusės turi vienodus matmenis. Todėl tokio stačiakampio ploto apskaičiavimas sumažinamas iki padauginimo iš kito, ty iki antrosios kraštinės laipsnio. Ir kvadrato ploto apskaičiavimo formulė įgis norimą formą.

Kvadrato plotą galima rasti kitu būdu, pavyzdžiui, jei naudojate įstrižainę:

Kaip apskaičiuoti figūros plotą, kurį sudaro plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas? Norėdami apskaičiuoti plotą, naudojamos šios formulės:

Lygiagretainis

Lygiagretainio formulėje yra tiesiniai kraštinės matmenys, aukštis ir matematinis veiksmas – daugyba. Jei aukštis nežinomas, kaip rasti lygiagretainio plotą? Yra ir kitas skaičiavimo būdas. Reikalinga tam tikra reikšmė, kurią paims gretimų kraštinių suformuoto kampo trigonometrinė funkcija, taip pat jų ilgis.

Lygiagretainio ploto formulės yra šios:

Rombas

Kaip rasti keturkampio, vadinamo rombu, plotą? Rombo plotas nustatomas naudojant paprastas matematines operacijas su įstrižainėmis. Įrodymas remiasi tuo, kad įstrižainės atkarpos ties d1 ir d2 susikerta stačiu kampu. Sinusų lentelė rodo, kad stačiajam kampui ši funkcija yra lygi vienetui. Todėl rombo plotas apskaičiuojamas taip:

Rombo plotą galima rasti ir kitu būdu. Tai taip pat nesunku įrodyti, turint omenyje, kad jo kraštinės yra vienodo ilgio. Tada pakeiskite jų sandaugą panašia lygiagretainio išraiška. Juk ypatingas šios figūros atvejis yra rombas. Čia γ yra vidinis rombo kampas. Rombo plotas nustatomas taip:

Trapecija

Kaip rasti trapecijos plotą per pagrindus (a ir b), jei užduotyje nurodyti jų ilgiai? Čia be žinomos aukščio ilgio h reikšmės nebus įmanoma apskaičiuoti tokios trapecijos ploto. Nes šioje reikšmėje yra skaičiavimo išraiška:

Taip pat galima apskaičiuoti ir stačiakampės trapecijos kvadrato dydį. Tuo pačiu metu atsižvelgiama į tai, kad stačiakampėje trapecijoje aukščio ir kraštinės sąvokos yra sujungtos. Todėl stačiakampei trapecijai reikia nurodyti kraštinės ilgį, o ne aukštį.

Cilindras ir gretasienis

Apsvarstykite, ko reikia norint apskaičiuoti viso cilindro paviršių. Šios figūros plotas yra apskritimų pora, vadinama bazėmis, ir šoninis paviršius. Apskritimų, sudarančių apskritimus, spindulio ilgis lygus r. Cilindro plotui apskaičiuojamas toks:

Kaip rasti gretasienio plotą, kurį sudaro trys veidų poros? Jo išmatavimai atitinka tam tikrą porą. Priešingi veidai turi tuos pačius parametrus. Pirmiausia suraskite S(1), S(2), S(3) - nelygių veidų kvadratinius matmenis. Tada gretasienio paviršiaus plotas:

Žiedas

Du apskritimai su bendru centru sudaro žiedą. Jie taip pat riboja žiedo plotą. Šiuo atveju abiejose skaičiavimo formulėse atsižvelgiama į kiekvieno apskritimo matmenis. Pirmajame, apskaičiuojančiame žiedo plotą, yra didesni R ir mažesni r spinduliai. Dažniau jie vadinami išoriniais ir vidiniais. Antroje išraiškoje žiedo plotas apskaičiuojamas naudojant didesnį D ir mažesnį d skersmenį. Taigi, žiedo plotas pagal žinomus spindulius apskaičiuojamas taip:

Žiedo plotas, naudojant skersmenų ilgius, nustatomas taip:

Poligonas

Kaip rasti netinkamos formos daugiakampio plotą? Nėra bendros tokių figūrų ploto formulės. Bet jei jis pavaizduotas, pavyzdžiui, koordinačių plokštumoje, tai gali būti languotas popierius, tai kaip šiuo atveju rasti paviršiaus plotą? Čia jie naudoja metodą, kuriam nereikia apytiksliai išmatuoti figūrą. Jie tai daro: jei randa taškus, kurie patenka į langelio kampą arba turi sveikąsias koordinates, atsižvelgiama tik į juos. Norėdami sužinoti, kokia yra sritis, naudokite formulę, kurią patvirtino Pick. Būtina pridėti taškų, esančių polilinijos viduje, kai pusė taškų yra ant jos, skaičių ir atimti vieną, ty jis apskaičiuojamas taip:

kur C, D - taškų, esančių atitinkamai visoje polilinijoje, skaičius.