Kaip nustatyti vektoriaus pradžios taško koordinates. Manekenų vektoriai. Veiksmai su vektoriais. Vektorinės koordinatės. Paprasčiausi uždaviniai su vektoriais. Mišrus trijų vektorių sandauga

Šiame straipsnyje jūs ir aš pradėsime diskusiją apie vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazdelė“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai jaučiatės nesaugiai statydami erdvines figūras, pjūvius ir pan. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus sudarymas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Vidurio taško koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Tiesa, tokį pavadinimą jis gavo, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. O pagrindinis straipsnio tikslas – išmokyti naudotis kai kuriais pagrindiniais koordinačių metodo metodais (jie kartais būna naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius Vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai su koordinačių sistemos sąvoka. Prisiminkite, kai pirmą kartą ją sutikote. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, įtraukėte jį į formulę ir apskaičiavote tokiu būdu. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką gavote dėl to? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vieną atkarpą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos vėliau sujungėte tiesia linija, gauta linija. yra funkcijos grafikas.

Yra keletas dalykų, kuriuos jums reikia paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų paveikslėlyje

2. Daroma prielaida, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Jis pažymėtas raide.

4. Taško koordinatės įraše, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje - išilgai ašies. Visų pirma, tiesiog reiškia, kad taškas

5. Norint nustatyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

7. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį su jumis: pažymėkite du taškus. Sujunkite šiuos du taškus linija. Ir pastatykime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo atkarpą nukreiptą!

Prisiminkite, koks yra kitas nukreipto segmento pavadinimas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Klausimas: ar manote, kad mums užtenka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai padaryti labai paprasta:

Taigi, kadangi vektoriaus taškas yra pradžia ir pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas yra ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi. Šis faktas parašytas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis raidėmis, o viena mažąja raide, pvz.: ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika ir raskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite problemą šiek tiek sudėtingiau:

Vektorinis toras su on-cha laužu taške turi co-or-di-on-you. Rasti-di-te abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą nustatydamas, kokios yra vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite padalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima sukrauti vienas su kitu
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas su kitu

Visos šios operacijos turi gana vizualų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba padalytas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Raskite-di-ko-or-di-nat amžiaus iki ra sumą.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Abu jie turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuojame vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektoriaus koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime kaip . Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia aš sujungiau taškus ir taip pat nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško, ir nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kodėl ji nuostabi? Taip, jūs ir aš beveik viską žinome apie statųjį trikampį. Na, Pitagoro teorema, tikrai. Norimas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius nesunku rasti: jei žymėsime atkarpų ilgius atitinkamai per, tai

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgius, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra šakninė kvadratinių skirtumų nuo koordinačių suma. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš to darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra

Arba eikime kitaip: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite savarankiškai:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar keletas problemų, susijusių su ta pačia formule, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite-di-te akies voko ilgio kvadratu-to-ra.

2. Nai-di-te akies voko ilgio iki ra kvadratas

Spėju, kad lengvai su jais susitvarkysi? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šie galvosūkiai negali būti vienareikšmiškai klasifikuojami, jie labiau skirti bendrai erudicijai ir gebėjimui piešti paprastus paveikslėlius.

1. Raskite tuos kampo sinusus klo-on-nuo pjūvio, sujunkite vieną n-ąjį tašką su abscisių ašimi.

ir

Kaip mes čia tai padarysime? Turite rasti kampo tarp ir ašies sinusą. O kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško ir koordinatės, tada atkarpa yra lygi, o atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis

Ką mums belieka daryti? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: pagal Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tokia pati kaip ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji – taško koordinates.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lar nuleidžiamas ant abs-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė - tai yra "X" komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek primenu:

Vadinasi, savo piešinyje, esančiame kiek aukščiau, vieną tokį statmeną jau pavaizdavau? Kokia tai ašis? prie ašies. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 uždavinio sąlygomis raskite taško ordinates, simetriškas taškui apie x ašį.

Manau, kad jūs intuityviai suprantate, kas yra simetrija? Ją turi labai daug objektų: daug pastatų, lentelių, plokštumų, daug geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir t.t.. Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodos pusės. Ši simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į identiškas puses (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Taigi, turime pažymėti tašką, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tu padarei tą patį? Gerai! Rastame taške mus domina ordinatės. Ji lygi

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, sekundę pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A apie y ašį? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui aplink x ašį, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui aplink y ašį, turi koordinates:

Na, dabar tikrai baisu. užduotis: Raskite taško, kuris yra simetriškas taškui, koordinates, atsižvelgiant į pradžią. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: taškai yra ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia taikysiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite nuspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė yra lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki x ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, o tai reiškia. Raskite atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Susikirtimo taškas žymimas raide.

Atkarpos ilgis lygus. (raskite problemą patys, kur aptarėme šį momentą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis lygiai toks pat kaip ir jo ordinatės.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (pateiksiu tik jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Išleisti

2. Raskite taško koordinates ir ilgį

3. Įrodykite tai.

Dar vieną pjovimo ilgio problema:

Taškai yra-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Raskite jo vidurio linijos ilgį, par-ral-lel-noy.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada jums ši užduotis yra elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurio linijos ilgis yra perpus ilgesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: Šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės kiek vėliau.

Tuo tarpu štai jums kelios užduotys, pasipraktikuokite ties jas, jos gana paprastos, bet padeda „pasikišti“ koordinačių metodu!

1. Rodomi taškai-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, prijunkite antrą tašką ir

4. Ko-or-di-nat-noy plokštumoje raskite-di-te-the-red-shen-noy fi-gu-ry sritį.

5. Apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat, eina per tašką. Surask-de-te jos ūsus.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia stačiojo kampo-no-ka, viršūnės-shi-ny kažkas-ro-go turi co-or - di-na-you co-from-atsakyti-bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas lygus, bet pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pastebėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir nėra sunku: . Sudedant vektorius, koordinatės pridedamos. Tada turi koordinates. Taškas turi tas pačias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Nedelsdami veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų figūrų yra „suspaustas“ tamsintas plotas? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis lygus

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotas randamas pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskite šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar tau pavyko viską? Nebuvo taip sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - turėti galimybę sukurti vaizdinį vaizdą ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegu du taškai ir duota. Raskite atkarpos vidurio koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Surask-di-te arba-di-na-tu se-re-di-us from-cut, Connect-nya-yu-th-tas taškas ir

2. Taškai yra yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Surask-di-te arba-di-na-tu taškus iš naujo re-se-che-niya jo dia-go-on-lei.

3. Surask-di-te abs-cis-su apskritimo centre, apibūdink-san-noy šalia stačiakampio-no-ka, viršų-shi-mes turime kažką-ro-go co-or-di- na-jūs bendrai iš-vet-stvenno-but.

Sprendimai:

1. Pirmoji užduotis – tik klasika. Mes veikiame nedelsiant, nustatydami atkarpos vidurio tašką. Ji turi koordinates. Ordinata yra lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainį? Jo įstrižainės yra padalintos per susikirtimo tašką! Aha! Taigi koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates.Taško ordinatė lygi.

Atsakymas:

3. Koks yra apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs, o susikirtimo taškas padalintas per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkite, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apibrėžto apskritimo centras, tai yra vidurys. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, pateiksiu tik atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte pasitikrinti.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia trikampio-no-ka, kažkas-ro-go viršūnėse yra ko-or-di -no ponai

2. Raskite-di-te arba-di-na-tu apskritimo centrą, apibūdinkite san-noy šalia trikampio-no-ka, viršūnes-shi-mes turime kažką-ro-go koordinates

3. Koks ra-di-y-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų abs-ciss ašį?

4. Suraskite-di-te arba-di-ant tą tašką, kuriame ašies ir iškirpimo iš naujo patikrinkite, sujunkite-nya-yu-tąjį tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra svarbi ne tik paprastoms koordinačių metodo problemoms B dalyje, bet ir visur C2 užduotyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisimeni, kokias vektorių operacijas žadėjau įvesti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar aš tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorių daugyba.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingo pobūdžio objektus:

Vektorinis produktas yra gana sudėtingas. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime su jumis kitame straipsnyje. Ir čia mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Jau yra du būdai jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį būdą:

Taškinis produktas per koordinates

Raskite: - bendrą taškinio produkto žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, taškinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Rasti-dee-te

Sprendimas:

Raskite kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Matote, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

Rasti-di-te skaliar-noe pro-nuo-ve-de-nie amžiaus iki griovio ir

Ar susitvarkei? Gal jis pastebėjo nedidelę gudrybę? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra dar vienas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. Ir mums to reikia, kad iš pirmos ir antros formulių galėtume nuspręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminti vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei įjungiu šiuos duomenis į taško produkto formulę, gaunu:

Bet kitu būdu:

Taigi ką mes turime? Dabar turime formulę kampui tarp dviejų vektorių apskaičiuoti! Kartais dėl trumpumo taip pat rašoma taip:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Skaliarinę sandaugą apskaičiuojame per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 taško rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų-to-ra-mi ir. Atsakymą pateikite laipsniais.

2. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrą pabandykite padaryti patys! Aš sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau svarstėme jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada mes ieškome kosinuso tarp vektorių:

Kas yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad užduotys tiesiai ant vektorių ir koordinačių metodas egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau daugumą C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pagrindu, kurio pagrindu pagaminsime gana keblias konstrukcijas, kurių prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIO LYGIO

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminas. Išsiaiškinome B dalies užduotis Dabar atėjo laikas pereiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp linijos ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų linijų
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei problemos sąlygoje pateikta figūra yra sukimosi kūnas (rutulys, cilindras, kūgis ...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. stačiakampis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš mano patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Atkarpų plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimai

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatėse konstrukcijose (kurios kartais būna gana įmantrios).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, tokie kaip kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jis sukonstruotas gana lengvai: tik be abscisių ir ordinačių, pristatysime dar vieną ašį – taikymo ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos, susikerta viename taške, kurį vadinsime pradžia. Abscisių ašis, kaip ir anksčiau, bus pažymėta, ordinačių ašis - , o įvesta taikomoji ašis - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdinamas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate, aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė dar vadinama taško projekcija ant abscisės ašies, ordinatė – taško projekcija ant ordinačių ašies, o aplikacija – taško projekcija ant aplikacijos ašies. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra tiesiog ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl smulkmenų. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duoti du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurys turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų taškinis produktas yra:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra:

Tačiau erdvė nėra tokia paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras labai skiriasi. O tolimesniam pasakojimui reikia įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įstrigęs į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas „ant pirštų“ neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo sandarą. Ir mums tai bus įdomu.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• Tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus, be to, tik vienas:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, atsimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų gauti tiesės lygtį, tai visai nėra sunku: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs tai išgyvenote 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: turėkime du taškus su koordinatėmis: , tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, tačiau reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu tiesioje linijoje, ir būti jo nukreipiamuoju vektoriumi. Tada tiesės lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba jai lygiagretus.

Atsitraukti plokštumos trijų taškų lygtis nebėra toks nereikšmingas ir dažniausiai nėra įtrauktas į vidurinės mokyklos kursą. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad esate kupinas noro išmokti ko nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudoti techniką, kuri paprastai mokoma analitinės geometrijos kursuose. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko mes su jumis ginčėmės? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, tai iš jų vienareikšmiškai atkuriama plokštumos lygtis. Bet kaip? Pabandysiu tau paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra tokia:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis jau su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galime manyti, kad (tam reikia padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, o išrašysime paslaptingą išraišką, kuri išplaukia iš jos:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustabdyti! Kas tai dar? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, dažnai susidursite su šiais veiksniais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad nurodytas skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Tiksliai trečios eilės determinantui yra euristinė (vaizdinė) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinės kairės į apatinę dešinę) sandauga elementų, sudarančių pirmąjį trikampį „statmenai“ pagrindinei įstrižai, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ pagrindiniam įstrižainės
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinės dešinės į apatinę kairę) sandauga elementų, sudarančių pirmąjį trikampį „statmenai“ antrinei įstrižai, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ antrinė įstrižainė
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai parašysime skaičiais, gausime tokią išraišką:

Tačiau nereikia įsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, užtenka tik laikyti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas prie ko pridedama ir kas tada iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su „pliusu“:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Sąlygos su „minusu“

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai iš pliuso terminų sumos atimti minuso terminų sumą:

Šiuo būdu,

Kaip matote, apskaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ir antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite patys apskaičiuoti:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Pliuso terminų suma:
4. Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Pliuso terminų suma atėmus minuso terminų sumą:

Štai jums dar keli lemiami veiksniai, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daugybė programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka netruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau kalbėdamas apie plokštumos, kertančios tris duotus taškus, lygtį:

Tereikia tiesiogiai apskaičiuoti jo reikšmę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą lygų nuliui. Natūralu, kad tai yra kintamieji, todėl jūs gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje!

Iliustruojame tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinimas:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Mes darome determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei kyla tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite iš galvos tris taškus (su didele tikimybe, kad jie nebus ant vienos tiesios linijos), pastatykite ant jų plokštumą. Ir tada patikrinkite save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Atminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorius, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga bus skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir, plotui. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip galime apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą ir ar pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereidamas prie kryžminės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Schematiškai jie pavaizduoti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba paveikslėlyje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

vektorinis produktas

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: darau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Šiuo būdu:

Dabar pabandyk.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du užduotys, kurias reikia kontroliuoti:

1. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė man reikalinga konstrukcija yra mišrus trijų vektorių sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Tarkime, kad turime tris vektorius:

Tada trijų vektorių mišrus sandauga, žymima kaip, gali būti apskaičiuojama taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl – du savarankiško sprendimo pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visus reikalingus žinių pagrindus, kad išspręstume sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti konkrečios figūros koordinačių sistemą. Juk būtent nuo koordinačių sistemos ir figūros erdvėje santykinės padėties pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Primenu, kad šiame skyriuje mes atsižvelgiame į šiuos skaičius:

1. stačiakampis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui ar kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir dėžutė yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau pageidautina prisiminti, kaip geriausiai išdėstyti kubą ar stačiakampę dėžę.

tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Galite jį išdėstyti erdvėje įvairiais būdais. Tačiau manau, kad geriausias variantas yra toks:

Trikampė prizmė:

Tai yra, vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo kraštines sujungiame su koordinačių ašimis, vieną iš viršūnių sujungiame su pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinė užduotis vėl bus rasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo problemų sprendimo. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų skirstomos į 2 kategorijas: kampo ir atstumo problemos. Pirmiausia apsvarstysime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sudėtingumui):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų linijų radimas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Panagrinėkime šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Nagi, prisimink, ar mes su jumis anksčiau sprendėme panašius pavyzdžius? Prisimenate, nes mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Primenu, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar turime tikslą – rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pereikime prie „plokščio paveikslo“:

Kiek kampų gauname, kai susikerta dvi tiesės? Jau daiktai. Tiesa, tik du iš jų nėra lygūs, o kiti yra joms vertikalūs (taigi ir sutampa). Taigi kokį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matu. Tai reiškia, kad šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų linijų yra lygus. Kad nereikėtų vargti kaskart ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė pasinaudoti moduliu. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur mes gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų linijų nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios eilutės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuokite jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padaliname iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per arkosinusą

Na, o dabar pats metas pereiti prie užduočių: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu smulkiai, kitos – trumpai, o atsakymus pateiksiu tik į paskutines dvi užduotis, privalai visus skaičiavimus už juos atlikite patys.

Užduotys:

1. Dešiniajame tet-ra-ed-re suraskite kampą tarp you-so, kad tet-ra-ed-ra ir me-di-a-noy bo-ko-how pusės.

2. Dešinėje priekyje šešių anglių-pi-ra-mi-de šimtas-ro-na-os-no-va-niya yra kažkaip lygūs, o šoniniai šonkauliai yra vienodi, suraskite kampą tarp tiesių linijos ir.

3. Visų dešiniarankių keturių tu-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kraštų ilgiai yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir jei nuo-re-zok - tu-tai-tai, kad duota pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jos bo-ko- th šonkaulio.

4. Ant kubo krašto nuo-me-che-iki taško taip, kad Raskite-di-te kampą tarp tiesių ir

5. Taškas - se-re-di-ant kubo kraštų Nai-di-te kampas tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui reikia išmokti dirbti su visomis figūromis, padidinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, tai visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu jį priimti lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras bus „ištemptas“?. Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Taigi, turime rasti daugiau taškų koordinačių. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Taškas yra pakilęs taškas. Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada galiausiai reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė lygi, o viena iš kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl yra lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei kas tai prisimena lygiakraščio trikampio aukščiai dalijami iš sankirtos taško proporcijoje skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi:, tada norima taško abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi:. Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Joje ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Šiuo būdu,

Atsakymas:

Jūs neturėtumėte bijoti tokių „siaubingų“ atsakymų: problemų C2 atveju tai yra įprasta praktika. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nubraižykite taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinačių radimo: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime iš mažo brėžinio, o viršūnės – per taško koordinatę. Darbo daug, bet reikia pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra nulis. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, joje mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis duos taško abscisę). Kaip mes galime jos ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampelį. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma yra laipsniai. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas yra laipsniai. Tada:

Tada kur.

Taigi jis turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Ordinates rasti taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir ir pažymime tiesės susikirtimo tašką, tarkime už. (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažiūrėkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar raskite taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime programėlę. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos būklę šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Tai viskas, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių nukreipiamųjų vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, nenaudojau jokių sudėtingų gudrybių, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi nepateikti piramidės briaunų ilgiai, tai juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės pagrindu ir aš yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Pavaizduokime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, pažymėdami visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Jums reikės juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jos koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Rasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) – atkarpos vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra pati paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad galite tai išsiaiškinti patys. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sunkesni. Norėdami rasti kampą tarp linijos ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Pagal du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų linijų. Dešinės pusės struktūra yra tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Nestatykime lentynose sprendimo pavyzdžiai:

1. Os-no-va-ni-em tiesiai-mano prizas-mes esame-la-et-xia lygūs-bet-vargšai-ren-ny trikampis-pažymėkite tave su tuo prizu-mes esame lygūs. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje pa-ral-le-le-pi-pe-de iš Vakarų Nai-di-te kampas tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em iš šonkaulio vakarų Nai-di-te kampas, ob-ra-zo-van -ny os plokštuma -no-va-niya ir tiesiai-my, einantis per šonkaulių se-re-di-na ir

5. Dešiniosios keturkampės pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai su viršūne yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra se-re-di-ant pi-ra-mi-dy bo-ko-in-tosios briaunos.

Pirmąsias dvi problemas vėlgi išspręsiu detaliai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Nubraižykite prizmę ir jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus uždavinio teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tik mano prizmės „užpakalinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai taip pat gali būti rodoma tiesiogiai:

Šioje plokštumoje pasirenkame savavališkus tris taškus: pavyzdžiui, .

Padarykime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba tiesiog

Šiuo būdu,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutapo su pradžios tašku, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis Tam, kad tai padarytume, pirmiausia randame taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (tai taip pat yra mediana ir pusiausvyra) iš viršaus. Kadangi tada taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ ant taško:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, tokios figūros, kaip prizmė, "tiesumas" šiek tiek supaprastina procesą. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubraižome gretasienį, jame nubrėžiame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžiame jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje nuo taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Ieškome krypties vektoriaus koordinačių: Aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada mes ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, bet koordinačių metodas nerūpi! Pagrindinis privalumas yra jo universalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

vienas). Pats parodykite paskutinių dviejų taškų koordinates. Norėdami tai padaryti, turėsite išspręsti problemą naudodami šešiakampę piramidę!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškome kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti kai kuriomis formulėmis. Mums belieka apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Trims taškams ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Kitiems trims taškams ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į ankstesnes dvi, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi prisiminti tai jums nebus sunku. Pereikime tiesiai į problemą:

1. Šimtas-ro tiesiosios trikampės prizmės pagrindu yra lygus, o šoninio paviršiaus įstrižainė yra lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizo pagrindo plokštumos.

2. Dešiniajame į priekį keturių tu-re-coal-noy pi-ra-mi-de visi kažkieno kraštai yra lygūs, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos Ko-Stu sinusą, einantį per taškas per-pen-di-ku-lyar-bet tiesus-my.

3. Taisyklingoje keturių anglių prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Dešiniojoje keturkampėje prizmėje pagrindų kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (pagrinde - lygiakraštį trikampį) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio sąlygoje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Bazinė lygtis gaunama trivialiai: galite sudaryti atitinkamą determinantą trims taškams, bet aš iš karto sudarysiu lygtį:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates Taškas - Kadangi - trikampio mediana ir aukštis, ją lengva rasti pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Tada taškas turi koordinates: Raskite taško pritaikymą Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kokia tai paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Linija taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas jau mums duotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš nedidelio brėžinio nesunku nuspręsti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Dar reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirma, įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Lengvai gausite:

Arba kitaip (jei abi dalis padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, ar ne? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėjo prieš tai kad mano lėktuvas priklausė kilmei!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutapo su tiesės, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas yra stačiakampė prizmė, ką manote? Tai tik jums gerai žinomas gretasienis! Piešimas iš karto! Jūs netgi negalite atskirai pavaizduoti pagrindo, čia mažai naudos:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta kaip lygtis:

Dabar gaminame lėktuvą

Iš karto sudarome plokštumos lygtį:

Ieškau kampo

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats metas pailsėti, nes tu ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo problemas. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas.

Užsakiau pateiktas užduotis, nes jų sudėtingumas didėja. Lengviausia rasti taško ir plokštumos atstumas o sunkiausia yra rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir nedelsdami pereikime prie pirmos klasės problemų svarstymo:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias analizavau paskutinėje dalyje. Nedelsdami imkimės reikalo. Schema tokia: 1, 2 - padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimą priimkite patys ir palyginkite. Prasidėjo!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis yra Find-di-te atstumas nuo se-re-di-ny nuo pjūvio iki plokščio

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kraštas šimtas-ro-ant os-no-va-nia yra lygus. Raskite-di-tuos atstumus nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant briaunų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em kita briauna lygi, o vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya lygus. Raskite tuos atstumus nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite tuos atstumus nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukurkite atkarpą ir plokštumą, segmento vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo paprasto: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar sudarome plokštumos lygtį iš trijų taškų

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Netgi tai, kad piešiu kaip vištos letena, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Nesunkiai randame dar dviejų plokštumos taškų koordinates Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar supratai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos su jumis svarstėme ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip linija ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi visas galimybes: susikirsti, arba tiesė lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų manymu, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši linija kertasi? Man atrodo, aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra keblus: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Šiuo būdu:

O tai reiškia, kad mano užduotis sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties, apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums prireiks?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesioje linijoje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Ką jums reiškia šios trupmenos vardiklis, todėl turėtų būti aišku: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Čia yra labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar tai mums labai pravers!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Vektoriaus kūrimas

4. Sukuriame tiesės krypties vektorių

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Dana yra dešiniarankė trikampė pi-ra-mi-da su viršūne. Vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy yra lygus, tu-so-ta yra lygus. Raskite tuos atstumus nuo bo-ko krašto se-re-di-ny iki tiesės, kur taškai ir yra šonkaulių se-re-di-ny ir ko- vet -stven-bet.

2. Šonkaulių ilgiai ir stačiakampis-no-para-ral-le-le-pi-pe-da yra atitinkamai lygūs, o Find-di-te atstumas nuo top-shi-ny iki tiesiojo-my

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos spiečiaus briaunos yra vienodos – raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime jums daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Pasiraitokime rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates Jo aplikacija lygi nuliui, o ordinatė lygi jo abscisei. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas yra pakeisti atkarpą vidurine trikampio linija, tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi, kad.

7. Atsižvelgiame į vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai raskite atstumą:

Fu, tai viskas! Sąžiningai pasakysiu: šią problemą išspręsti tradiciniais metodais (konstrukcijomis) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, kad sprendimo algoritmas jums aiškus? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti savarankiškai. Palyginti atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodo. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik tam, kad parodyčiau universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios eilučių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišrios sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis - kaip ir ankstesnėje formulėje (linijų nukreipiančių vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes žiūrime dėl).

Aš jums tai priminsiu

tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Padalinkite šį determinantą iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia nenusiteikęs juokauti! Tiesą sakant, ši formulė yra labai sudėtinga ir leidžia atlikti gana sudėtingus skaičiavimus. Jei būčiau jūsų vietoje, tai naudočiau tik kaip paskutinę priemonę!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Dešiniojoje trikampėje prizmėje visos briaunos kažkaip lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į dešinės priekinės formos trikampę prizmę, visos kažkieno os-no-va-niya briaunos yra lygios Se-che-tion, einančios per kitą briauną ir se-re-di-nu šonkauliai yra yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie tarp tiesių-we-mi ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį - antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \overright rodyklė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Mes laikome kryžminį sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas) )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar atsižvelgsime į jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite kruopščiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių reprezentuojančios atkarpos ilgis. Paskirtas kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų absoliučių verčių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite OGE arba NAUDOKITE matematiką už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gausite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (sprendimų knygos), neriboto bandomojo USE ir OGE, 6000 užduočių su sprendimų analize ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.

Vektoriaus koordinačių radimas yra gana dažna daugelio matematikos problemų sąlyga. Gebėjimas rasti vektoriaus koordinates padės spręsti kitas, sudėtingesnes panašių temų problemas. Šiame straipsnyje apžvelgsime vektoriaus koordinačių radimo formulę ir keletą užduočių.

Vektoriaus koordinačių radimas plokštumoje

Kas yra lėktuvas? Plokštuma yra dvimatė erdvė, erdvė su dviem matmenimis (matmuo x ir matmuo y). Pavyzdžiui, popierius yra plokščias. Stalo paviršius lygus. Bet kuri ne tūrinė figūra (kvadratas, trikampis, trapecija) taip pat yra plokštuma. Taigi, jei uždavinio sąlygomis reikia rasti vektoriaus, esančio plokštumoje, koordinates, iš karto prisimename x ir y. Tokio vektoriaus koordinates galite rasti taip: vektoriaus AB koordinatės = (xB - xA; yB - xA). Iš formulės matyti, kad pradžios taško koordinates reikia atimti iš pabaigos taško koordinačių.

Pavyzdys:

• CD vektorius turi pradžios (5; 6) ir pabaigos (7; 8) koordinates.
• Raskite paties vektoriaus koordinates.
• Naudodami aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Taigi CD vektoriaus koordinatės = (2; 2).
• Atitinkamai, x koordinatė lygi dviem, y koordinatė taip pat yra dvi.

Vektoriaus koordinačių radimas erdvėje

Kas yra erdvė? Erdvė jau yra trimatis matmuo, kur pateiktos 3 koordinatės: x, y, z. Jei reikia rasti vektorių, kuris yra erdvėje, formulė praktiškai nesikeičia. Pridedama tik viena koordinatė. Norėdami rasti vektorių, turite atimti pradžios koordinates iš pabaigos koordinačių. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Pavyzdys:

• Vektorius DF turi pradinį (2; 3; 1) ir galutinį (1; 5; 2).
• Pritaikius aukščiau pateiktą formulę, gauname: Vektorinės koordinatės DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Atminkite, kad koordinačių reikšmė gali būti neigiama, todėl nėra jokių problemų.

Kaip internete rasti vektorių koordinates?

Jei dėl kokių nors priežasčių nenorite patys rasti koordinačių, galite pasinaudoti internetine skaičiuokle. Pirmiausia pasirinkite vektoriaus matmenis. Už jo matmenis atsakingas vektoriaus matmuo. 3 matmuo reiškia, kad vektorius yra erdvėje, 2 matmuo reiškia, kad jis yra plokštumoje. Toliau į atitinkamus laukus įterpkite taškų koordinates ir programa nustatys paties vektoriaus koordinates. Viskas labai paprasta.

Spustelėjus mygtuką, puslapis automatiškai slinks žemyn ir pateiks teisingą atsakymą kartu su sprendimo veiksmais.

Šią temą rekomenduojama gerai išstudijuoti, nes vektoriaus sąvoka randama ne tik matematikoje, bet ir fizikoje. Vektorių temą nagrinėja ir Informacinių technologijų fakulteto studentai, tačiau sudėtingesniu lygiu.

Vektorinės koordinatės

Vertė vadinama vektoriaus abscisė, o skaičius yra ordinatės

Kaip plokštumoje formuojamas pagrindas

Kaip erdvėje formuojasi pagrindas

Vektorinės erdvės pagrindas yra sutvarkyta maksimali tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema iš šios erdvės.

Apibrėžimas Vektorių sistema a1, a2, . . . , an iš vektorinės erdvės V vadinama šios erdvės generatorių sistema, jei bet kuris vektorius iš V yra tiesiškai išreikštas vektoriais a1, a2, . . . , an.

Sutvarkyta vektorių sistema yra vektorinės erdvės V pagrindas tada ir tik tada, kai ji yra tiesiškai nepriklausoma šios erdvės generatorių sistema

Kas yra Dekarto pagrindas

Jeigu vektoriai e1, e2, e3 yra tarpusavyje stačiakampiai ir absoliučia reikšme lygūs vienetui, tai jie vadinami stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos ortais, o pats pagrindas yra stačiakampis Dekarto pagrindas.

Suformuluokite vektorių koordinačių savybes Dekarto pagrindu

Kas yra taško koordinatės

Taško atstumai nuo koordinačių plokštumų vadinami taško koordinatėmis.
Taško atstumas AA 1 nuo plokštumos P 1 vadinamas taško aplikacija ir žymimas A, taško atstumas AA 2 nuo plokštumos P 2 yra taško ordinatė ir žymimas - y A, taško atstumas AA 3 nuo plokštumos P 3 yra taško abscisė ir žymimas x A.
Akivaizdu, kad taikymo taško z A koordinatė yra aukštis AA 1, ordinačių taško y A koordinatė yra gylis AA 2, abscisių taško x A koordinatė yra platuma AA 3.

Kaip apskaičiuojamos vektoriaus koordinatės, jei žinomos jo pabaigos ir pradžios koordinatės

Kaip apskaičiuoti atstumą tarp dviejų taškų, jei žinomos jų koordinatės

Jūs žinote, kas yra AB (x1-x2; y1-y2)
Atstumas tarp taškų yra vektoriaus AB ilgis.

Kas yra krypties kosinusai

Vektorinės krypties kosinusai yra kampų, kuriuos vektorius sudaro su teigiamomis koordinačių pusašimis, kosinusai.

Krypties kosinusai vienareikšmiškai apibrėžia vektoriaus kryptį.

Tai, kas vadinama vektoriaus projekcija į ašį, projekcijų savybėms įrodyti.

Vektorinė projekcija vienai ašiai l() vadinamas jo komponentų ilgiu ašyje l, paimtas su pliuso ženklu, jei komponento kryptis sutampa su ašies kryptimi l, ir su minuso ženklu, jei komponento kryptis yra priešinga ašies krypčiai.

Jei = , jie mano = .

I teorema Vektoriaus projekcija į l ašį yra lygi jo modulio sandaugai ir kampo tarp šio vektoriaus ir l ašies kosinuso.

Įrodymas. Kadangi vektorius = laisvas, galime manyti, kad jo pradžia O yra ašyje l(34 pav.).

Jei kampas aštrus, tada vektoriaus komponento kryptis = , sutampa su ašies kryptimi l(34 pav., a).

Šiuo atveju turime = + = . Jei kampas (34 pav., b) , tada komponento kryptis = vektorius, priešingas ašies krypčiai l. Tada gauname = = cos(-) = cos

Tas pats ir vektoriui.

Kas yra vektorių skaliarinė sandauga

Taškinis produktas du ne nulis vektoriai a ir b yra skaičius, lygus šių ilgių sandaugai vektoriai kampo tarp jų kosinusu.

Suformuluokite vektorių ortogonalumo sąlygą

Vektorių ortogonalumo sąlyga.Du vektoriai a ir b stačiakampis (statmenas) jei jų taškinė sandauga yra nulis.

Įrodykite vektorių skaliarinės sandaugos savybes

Vektorių taško sandaugos savybės

1. Vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi visada yra didesnė už nulį arba lygi nuliui:

1. Vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai vektorius yra lygus nuliniam vektoriui:

a a = 0<=>a = 0

1. Vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi yra lygi jo modulio kvadratui:

1. Skaliarinio daugybos operacija yra komunikacinė:

1. Jei dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tada šie vektoriai yra stačiakampiai:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

1. (αa) b = α(a b)
2. Skaliarinio dauginimo operacija yra skirstomoji:

(a + b) c = a c + b c

Išvesties taško produkto išraiška koordinatėmis

Suformuluokite vektorinės sandaugos savybes

TIK 1 FORMULĖ

Aukščiau yra determinantas.

Analitinė geometrija

1. Įrodykite teoremas apie bendrąją plokštumos tiesės lygtį

2. Atlikti bendrosios tiesės lygties plokštumoje tyrimą

3. Išveskite tiesės lygtį plokštumoje su nuolydžiu ir tiesės lygtį atkarpomis ant ašių

4. Išveskite kanoninę tiesės plokštumoje lygtį, užrašykite parametrines lygtis, išveskite tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį.

5. Kaip nustatomas kampas tarp tiesių plokštumoje, jei jos pateiktos kanoninėmis lygtimis arba lygtimis su nuolydžiu?

6. Išveskite tiesių lygiagretumo, sutapimo ir statmenumo plokštumoje sąlygas

7. Gauti atstumo nuo taško iki plokštumos tiesės apskaičiavimo formulę

8. Įrodykite teoremas apie bendrąją plokštumos lygtį

9. Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie plokštumų poros santykinę padėtį

10. Atlikti bendrosios plokštumos lygties tyrimą

11. Gauk plokštumos atkarpomis lygtį ir plokštumos, einančios per du duotus taškus, lygtį

12. Gauti atstumo nuo taško iki plokštumos skaičiavimo formulę

13. Kaip apskaičiuojamas kampas tarp plokštumų?

14. Išveskite dviejų plokštumų lygiagretumo ir statmenumo sąlygas

15. Užrašykite bendrąją tiesės erdvėje lygčių formą, gaukite tiesės erdvėje lygčių kanoninę formą

16. Išveskite tiesės erdvėje, taip pat tiesės, einančios per du erdvės taškus, parametrines lygtis.

17. Kaip nustatomas kampas tarp dviejų tiesių erdvėje? Užrašykite tiesių lygiagretumo ir statmenumo erdvėje sąlygas

18. Kaip nustatomas kampas tarp tiesės ir plokštumos? Užrašykite tiesės ir plokštumos statmenumo ir lygiagretumo sąlygas

19. Gaukite sąlygą, kad dvi eilutės priklausytų tai pačiai plokštumai

Matematinė analizė

1. Kas yra funkcija, kokiais būdais ją nustatyti?

2. Kas yra lyginės ir nelyginės funkcijos, kaip sudaryti jų grafikus

3. Kas yra periodinės ir atvirkštinės funkcijos, kaip sudaryti jų grafikus

4. Grafikuose parodykite eksponentines ir logaritmines funkcijas a>1, a<1.

5. Kas yra harmoninė priklausomybė, koks jos grafiko tipas?

6. Nubraižykite grafikus y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx

7. Kas yra elementari funkcija. Pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai

8. Kaip sukurti grafikus, pvz., y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)

9. Kas yra skaitinė seka, kokiais būdais ją nustatyti?

10. Kas yra monotoniška ir ribota seka?

11. Kas vadinama sekos riba? Užrašykite apibrėžimą, kad duotas skaičius nėra duotosios sekos riba

12. Nurodykite sekų ribų savybes

13. Įrodykite dvi pagrindines konvergentinių sekų savybes

14. Kuris iš jų suteikia būtinąją konvergencijos sąlygą?

15. Suformuluokite teoremą, kuri suteikia pakankamą sąlygą sekos konvergencijai

16. Įrodykite kurią nors iš sekų ribų savybių

17. Kas yra be galo maža (didelė) seka?

18. Nurodykite begalinių mažų sekų savybes

19. Kas vadinama funkcijos riba?

20. Suformuluokite funkcijų ribų savybes

21. Kas vadinama vienpuse riba?

22. Užrašykite pirmąją reikšmingą ribą ir išveskite jos išvadą

23. Užrašykite antrąją reikšmingą ribą ir išveskite jos pasekmes

24. Kokios funkcijos vadinamos be galo mažomis, ribotomis, be galo didelėmis?

25. Suformuluokite be galo mažų funkcijų savybes, įrodykite bet kurią iš jų

26. Kokios sąvokos įvedamos be galo mažoms funkcijoms palyginti, pateikite jų apibrėžimus

27. Kokia funkcija tam tikrame taške vadinama tęstine?

28. Suformuluokite tęstinumo kriterijų ir apibūdinkite nenutrūkstamumo tipus

29. Kokia yra funkcijos išvestinė fiksuotame taške?

30. Kas vadinama vienpusėmis išvestinėmis?

31. Kas yra funkcijos diferencialas ir kaip jis susijęs su funkcijos prieaugiu?

32. Pirmojo ir antrojo vedinių fizinė reikšmė

33. Kas yra funkcijos išvestinė iš funkcijos?

34. Išvardykite darinių savybes, įrodykite dvi iš jų (u+v)" ir (uv)"

35. Parašykite išvestinių lentelę, įrodykite bet kurias dvi formules

36. Kokia geometrinė išvestinės ir diferencialo reikšmė?

37. Išveskite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį

38. Įrodykite kompleksinės funkcijos išvestinės teoremą

39. Išveskite atvirkštinės funkcijos išvestinę (pateikite jos radimo pavyzdį)

40. Pagrįskite išvestinių skaičiavimo teoremą

41. Įrodykite visas diferencijuojamų funkcijų vidutinių verčių teoremas

42. Suformuluokite ir įrodykite L'Hopital taisyklę

43. Kokios funkcijos vadinamos didėjančiomis ir mažėjančiomis intervale?

44. Įrodykite teoremas apie išvestinės ryšį su didėjančia funkcija

45. Kas yra ekstremumo taškai?

46. ​​Pagrįskite būtiną ekstremumo sąlygą

47. Išveskite dviejų tipų pakankamos ekstremumo sąlygos

48. Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

49. Kas vadinama išgaubta ir įgaubta funkcija?

50. Kaip ištirti funkciją išgaubtumui ir įgaubtumui? Kas yra vingio taškai?

51. Asimptotės – pateikite apibrėžimus, paaiškinkite, kaip rasti

52. Išveskite parametriškai duotosios funkcijos išvestinės (pirmosios ir antrosios) radimo formulę

53. Kas yra vektorinė funkcija, jos hodografas ir mechaninė reikšmė?

54. Apibūdinkite dydžiu ir kryptimi materialaus taško, vienodai judančio apskritimu, greitį ir pagreitį.

55. Apibūdinkite dydžiu ir kryptimi materialaus taško greitį ir pagreitį netolygiai judant apskritimu.

56. Gauti funkcijų y=e x, y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx išvestines

Kokios yra vektoriaus koordinatės

Vektorinės koordinatės yra vadinamos nurodyto vektoriaus ašyje projekcijomis ir atitinkamai:

Vertė vadinama vektoriaus abscisė, o skaičius yra ordinatės. Faktas, kad vektorius turi koordinates ir rašomas taip: .

Iki šiol buvo manoma, kad vektoriai yra laikomi erdvėje. Nuo šio momento manysime, kad visi vektoriai yra plokštumoje. Taip pat darysime prielaidą, kad Dekarto koordinačių sistema yra nustatyta plokštumoje (net jei tai neminima), vaizduojančioje dvi viena kitai statmenas skaitines ašis – horizontaliąją ir vertikaliąją ašį. . Tada kiekvienas taškas
plokštumoje priskiriama skaičių pora
, kurios yra jo koordinatės. Ir atvirkščiai, kiekviena skaičių pora
atitinka tokį plokštumos tašką, kad skaičių pora
yra jos koordinatės.

Iš elementarios geometrijos žinoma, kad jei plokštumoje yra du taškai
ir
, tada atstumas
tarp šių taškų išreiškiamas jų koordinatėmis formule

Tegu plokštumoje pateikiama Dekarto koordinačių sistema. Orth ašis bus pažymėtas simboliu , ir vieneto vektorius simbolis . Savavališka projekcija vektorius vienai ašiai bus pažymėtas simboliu
, ir projekcija į ašį simbolis
.

Leisti - savavališkas vektorius plokštumoje. Galioja tokia teorema.

22 teorema.

Bet kokiam vektoriui lėktuve yra skaičių pora

.

Kuriame
,
.

Įrodymas.

Tegul vektorius . Atidėti vektorių nuo kilmės. Pažymėti vektoriaus projekcijos vektorius vienai ašiai , ir per vektoriaus projekcijos vektorius vienai ašiai . Tada, kaip matyti iš 21 paveikslo, turime lygybę

.

Pagal 9 teoremą,

,

.

Pažymėti
,
. Tada gauname

.

Taigi, įrodyta, kad bet kuriam vektoriui yra pora skaiciu
tokia, kad lygybė

,

,

.

Skirtingai vektoriaus vietai ašių atžvilgiu įrodymas panašus.

Apibrėžimas.

Skaičių pora ir toks kad
, vadinamos vektoriaus koordinatėmis . Skaičius vadinamas x koordinate ir skaičiumi žaidimo koordinatės.

Apibrėžimas.

Koordinačių ašių vektorių pora
vadinamas ortonormaliu pagrindu plokštumoje. Bet kurio vektoriaus vaizdavimas kaip
vadinamas vektoriaus skilimu pagrindu
.

Iš vektoriaus koordinačių apibrėžimo tiesiogiai išplaukia, kad jei vektorių koordinatės yra lygios, tai ir patys vektoriai yra lygūs. Priešingai irgi tiesa.

Teorema.

Lygi vektoriai turi lygias koordinates.

Įrodymas.

,

ir
. Įrodykime tai
,
.

Iš vektorių lygybės išplaukia, kad

.

Tarkime, kad
, a
.

Tada
ir tai reiškia
, o tai netiesa. Panašiai, jei
, bet
, tada
. Iš čia
, o tai netiesa. Galiausiai, jei manytume, kad
ir
, tada mes tai gauname

.

Tai reiškia, kad vektoriai ir kolineariai. Bet tai netiesa, nes jie yra statmeni. Todėl taip ir lieka
,
, kas turėjo būti įrodyta.

Taigi vektoriaus koordinatės visiškai lemia patį vektorių. Žinant koordinates ir vektorius galite sukurti patį vektorių , konstruojant vektorius
ir
ir juos sudėjus. Todėl dažnai pats vektorius pažymėkite kaip jos koordinačių porą ir parašykite
. Šis įrašas reiškia, kad
.

Ši teorema tiesiogiai išplaukia iš vektoriaus koordinačių apibrėžimo.

Teorema.

Sudėjus vektorius, pridedamos jų koordinatės, o vektorių padauginus iš skaičiaus, jo koordinatės dauginamos iš to skaičiaus. Šie pareiškimai yra parašyti formoje

.

Įrodymas.

,

Teorema.

Leisti
, o vektoriaus pradžia yra taškas turi koordinates
, o vektoriaus pabaiga yra taškas
. Tada vektoriaus koordinatės yra susietos su jo galų koordinatėmis šiais ryšiais

,

.

Įrodymas.

Leisti
ir tegul vektoriaus projekcijos vektorius vienai ašiai suderinta su ašimi (žr. 22 pav.). Tada

T kaip ir atkarpos ilgis skaičių tiesėje lygi dešiniajai galinei koordinatei minus kairiajai galinei koordinatei. Jei vektorius

priešinga ašis (kaip 23 pav.), tada

Ryžiai. 23.

Jeigu
, tada šiuo atveju
ir tada gauname

.

Taigi bet kuriai vektoriaus vietai
koordinačių ašių atžvilgiu jos koordinatė yra lygus

.

Panašiai įrodyta, kad

.

Pavyzdys.

Duotos vektoriaus galų koordinatės
:
. Raskite vektorių koordinates
.

Sprendimas.

Ši teorema pateikia vektoriaus ilgio išraišką jo koordinatėmis.

15 teorema.

Leisti
.Tada

.

Įrodymas.

Leisti ir - vektorių projekcijos vektorius ant ašies ir , atitinkamai. Tada, kaip parodyta 9 teoremos įrodyme, turime

.

Tuo pačiu metu vektoriai ir viena kitai statmenos. Sudėjus šiuos vektorius pagal trikampio taisyklę, gauname statųjį trikampį (žr. 24 pav.).

Pagal Pitagoro teoremą turime

.

,

.

Vadinasi

,

.

.

.

Pavyzdys.

.Surask .

Supažindinkime su vektoriaus krypties kosinusų sąvoka.

Apibrėžimas.

Tegul vektorius
komponuoja su ašimi injekcija , ir su ašimi injekcija (Žr. 25 pav.).

,

.

Vadinasi,

Kadangi bet kuriam vektoriui yra lygybė

,

Kur - vektoriaus vieneto vektorius , tai yra vektorius, kurio ilgio vienetas yra kartu su vektoriumi , tada

Vektorius nustato vektoriaus kryptį . Jo koordinatės
ir
vadinami vektoriaus krypties kosinusais . Vektoriaus krypties kosinusai gali būti išreikšti jo koordinatėmis naudojant formules

,

.

Yra santykis

.

Iki šiol šioje dalyje buvo daroma prielaida, kad visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Dabar apibendrinkime vektorius erdvėje.

Darysime prielaidą, kad Dekarto koordinačių sistema su ašimis ,ir .

Kirvių hortai ,ir bus žymimi simboliais ,ir , atitinkamai (26 pav.).

Galima parodyti, kad visos sąvokos ir formulės, gautos vektoriams plokštumoje, yra apibendrintos

Ryžiai. 26.

vektoriai erdvėje. Vektorių trijulė
vadinamas ortonormaliu pagrindu erdvėje.

Leisti ,ir - vektorių projekcijos vektorius ant ašies ,ir , atitinkamai. Tada

.

Savo ruožtu

,

,

.

Jei paskirsime

,

,

,

Tada gauname lygybę

.

Koeficientai prieš bazinius vektorius ,ir vadinamos vektoriaus koordinatėmis . Taigi bet kuriam vektoriui erdvėje yra skaičių trigubas ,,, vadinamas vektoriaus koordinatėmis taip, kad šis vektorius atitiktų reprezentaciją

.

Vektorius šiuo atveju taip pat žymimas kaip
. Šiuo atveju vektoriaus koordinatės yra lygios šio vektoriaus projekcijoms į koordinačių ašis

,

,

,

kur - kampas tarp vektoriaus ir ašis ,- kampas tarp vektoriaus ir ašis ,- kampas tarp vektoriaus ir ašis .

Vektoriaus ilgis išreiškiamas jo koordinatėmis formule

.

Tiesos teiginiai, kad lygūs vektoriai turi lygias koordinates, kai vektoriai sujungiami, jų koordinatės pridedamos, o kai vektorius padauginamas iš skaičiaus, jo koordinatės dauginamos iš šio skaičiaus.
,
ir
vadinami vektoriaus krypties kosinusais . Jie yra susieti su vektorių koordinatėmis pagal formules

,
,
.

Iš to išplaukia santykis

Jei vektoriaus galai
turėti koordinates
,
, tada vektoriaus koordinates
yra susietos su vektoriaus galų koordinatėmis ryšiais

,

,

.

Pavyzdys.

Suteikti taškai
ir
. Raskite vektorių koordinates
.

Pagaliau gavau į rankas plačią ir ilgai lauktą temą analitinė geometrija. Pirma, šiek tiek apie šią aukštosios matematikos skyrių... Tikrai dabar prisiminėte mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, brėžinių ir kt. Ką slėpti, nemylimas ir dažnai neaiškus dalykas nemažai daliai mokinių. Kaip bebūtų keista, analitinė geometrija gali atrodyti įdomesnė ir prieinamesnė. Ką reiškia būdvardis „analitinis“? Iškart iškyla du štampuoti matematiniai posūkiai: „grafinis sprendimo metodas“ ir „analitinis sprendimo metodas“. Grafinis metodas, žinoma, yra susijęs su grafikų, brėžinių konstravimu. Analitinis tas pats metodas apima problemų sprendimą daugiausia per algebrines operacijas. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinės geometrijos problemų sprendimo algoritmas yra paprastas ir skaidrus, dažnai pakanka tiksliai pritaikyti reikiamas formules - ir atsakymas paruoštas! Ne, žinoma, visiškai neapsieis be piešinių, be to, kad geriau suprasčiau medžiagą, pasistengsiu jų atsinešti viršijant poreikį.

Atviras geometrijos pamokų kursas nepretenduoja į teorinį išsamumą, orientuotas į praktinių uždavinių sprendimą. Į paskaitas įtrauksiu tik tai, kas, mano požiūriu, yra svarbu praktiškai. Jei jums reikia išsamesnės nuorodos į kurį nors poskyrį, rekomenduoju šią gana prieinamą literatūrą:

1) Dalykas, kuris, nejuokaujant, yra žinomas kelioms kartoms: Mokyklinis geometrijos vadovėlis, autoriai - L.S. Atanasjanas ir kompanija. Ši mokyklos rūbinės kabykla jau atlaikė 20 (!) pakartotinių leidimų, o tai, žinoma, nėra riba.

2) Geometrija 2 tomuose. Autoriai L.S. Atanasjanas, Bazilevas V.T.. Tai aukštajam mokslui skirta literatūra, tau prireiks pirmasis tomas. Nedažnai atliekamos užduotys gali iškristi iš mano regėjimo lauko, o pamoka bus neįkainojama pagalba.

Abi knygas galima nemokamai atsisiųsti internetu. Be to, galite naudoti mano archyvą su paruoštais sprendimais, kuriuos galite rasti puslapyje Atsisiųskite aukštosios matematikos pavyzdžius.

Iš įrankių vėl siūlau savo tobulėjimą - programinės įrangos paketą ant analitinės geometrijos, kuri labai supaprastins gyvenimą ir sutaupys daug laiko.

Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindinėmis geometrinėmis sąvokomis ir figūromis: tašku, tiese, plokštuma, trikampiu, lygiagretainiu, gretasieniu, kubu ir kt. Patartina atsiminti kai kurias teoremas, bent jau Pitagoro teoremą, sveiki kartotojai)

O dabar nuosekliai apsvarstysime: vektoriaus sąvoką, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates. Toliau rekomenduoju perskaityti svarbiausias straipsnis Taškinė vektorių sandauga, taip pat Vektorius ir vektorių mišrus sandauga. Vietinė užduotis nebus nereikalinga - šiuo atžvilgiu segmento padalijimas. Remdamiesi aukščiau pateikta informacija, galite plokštumos tiesės lygtis Su paprasčiausi sprendimų pavyzdžiai, kuris leis išmokti spręsti geometrijos uždavinius. Taip pat naudingi šie straipsniai: Plokštumos erdvėje lygtis, Tiesios erdvės lygtys, Pagrindinės linijos ir plokštumos problemos, kitos analitinės geometrijos dalys. Natūralu, kad pakeliui bus svarstomos standartinės užduotys.

Vektoriaus samprata. nemokamas vektorius

Pirmiausia pakartokime mokyklinį vektoriaus apibrėžimą. Vektorius paskambino nukreiptas segmentas, kurio pradžia ir pabaiga nurodyta:

Šiuo atveju atkarpos pradžia yra taškas , atkarpos pabaiga yra taškas . Pats vektorius žymimas . Kryptis yra būtina, jei perstatysite rodyklę į kitą segmento galą, gausite vektorių ir tai jau visiškai kitoks vektorius. Patogu vektoriaus sąvoką tapatinti su fizinio kūno judėjimu: reikia pripažinti, kad įėjimas pro instituto duris ar išėjimas iš instituto – visiškai skirtingi dalykai.

Atskirus plokštumos taškus, erdvę patogu laikyti vadinamuoju nulinis vektorius. Toks vektorius turi tą pačią pabaigą ir pradžią.

!!! Pastaba: Čia ir žemiau galima daryti prielaidą, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galima daryti prielaidą, kad jie yra erdvėje – pateiktos medžiagos esmė galioja ir plokštumai, ir erdvei.

Pavadinimai: Daugelis iš karto atkreipė dėmesį į lazdą be rodyklės pavadinime ir sakė, kad jie taip pat įdėjo rodyklę viršuje! Teisingai, galite rašyti su rodykle: , bet leistina ir įrašą, kurį panaudosiu vėliau. Kodėl? Matyt, toks įprotis susiformavo iš praktinių sumetimų, mano šauliai mokykloje ir universitete pasirodė pernelyg įvairūs ir gauruoti. Mokomojoje literatūroje kartais visai nesirūpinama dantiraščiu, o paryškinamos paryškintos raidės: , tai reiškia, kad tai vektorius.

Toks buvo stilius, o dabar apie vektorių rašymo būdus:

1) Vektorius galima parašyti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis:
ir tt Nors pirmoji raidė būtinaižymi vektoriaus pradžios tašką, o antra raidė – vektoriaus galinį tašką.

2) Vektoriai taip pat rašomi mažomis lotyniškomis raidėmis:
Visų pirma, mūsų vektorius, siekiant trumpumo, gali būti perskirtas maža lotyniška raide .

Ilgis arba modulis nulinis vektorius vadinamas atkarpos ilgiu. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui. Logiškai mąstant.

Vektoriaus ilgis žymimas modulio ženklu: ,

Kaip rasti vektoriaus ilgį, sužinosime (arba pakartosime, kam kaip) kiek vėliau.

Tai buvo elementari informacija apie vektorių, pažįstama visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje vadinamasis nemokamas vektorius.

Jei tai gana paprasta - vektorius gali būti nubrėžtas iš bet kurio taško:

Anksčiau tokius vektorius vadindavome lygiais (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), tačiau grynai matematiniu požiūriu tai yra TAS PATS VEKTORIAUS arba nemokamas vektorius. Kodėl nemokamai? Nes spręsdami uždavinius galite „pritvirtinti“ vieną ar kitą „mokyklos“ vektorių prie BET BET ko jums reikalingos plokštumos ar erdvės taško. Tai labai šaunus turtas! Įsivaizduokite savavališko ilgio ir krypties nukreiptą segmentą – jį galima „klonuoti“ be galo daug kartų ir bet kuriame erdvės taške, iš tikrųjų jis egzistuoja VISUR. Yra tokia studentiška patarlė: Kiekvienas dėstytojas f ** u vektoriuje. Juk tai ne tik šmaikštus rimas, viskas beveik teisinga – ten galima pritvirtinti ir nukreiptą segmentą. Bet neskubėkite džiaugtis, dažniau kenčia patys studentai =)

Taigi, nemokamas vektorius- tai krūva vienodos krypties segmentai. Mokyklinis vektoriaus apibrėžimas, pateiktas pastraipos pradžioje: „Nukreiptas segmentas vadinamas vektoriumi ...“, reiškia specifinis iš tam tikros aibės paimta nukreipta atkarpa, pritvirtinta prie tam tikro plokštumos ar erdvės taško.

Reikėtų pažymėti, kad fizikos požiūriu laisvojo vektoriaus sąvoka paprastai yra neteisinga, o taikymo taškas yra svarbus. Tiesą sakant, tiesioginio tos pačios jėgos smūgio į nosį ar kaktą pakanka, kad išvystytų mano kvailą pavyzdį, sukelia skirtingas pasekmes. Tačiau nėra nemokama vektoriai randami ir vyshmat eigoje (neik ten :)).

Veiksmai su vektoriais. Vektorių kolineariškumas

Mokyklos geometrijos kurse atsižvelgiama į daugybę veiksmų ir taisyklių su vektoriais: sudėjimas pagal trikampio taisyklę, sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę, vektorių skirtumo taisyklė, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus, vektorių skaliarinė sandauga ir kt. Kaip sėklą kartojame dvi taisykles, kurios ypač aktualios sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius.

Vektorių sudėjimo taisyklė pagal trikampių taisyklę

Apsvarstykite du savavališkus nulinius vektorius ir:

Būtina rasti šių vektorių sumą. Atsižvelgiant į tai, kad visi vektoriai laikomi laisvaisiais, vektorių atidedame nuo pabaiga vektorius:

Vektorių suma yra vektorius . Norint geriau suprasti taisyklę, patartina į ją įvesti fizinę reikšmę: leiskite kokiam nors kūnui nueiti kelią išilgai vektoriaus , o tada išilgai vektoriaus . Tada vektorių suma yra gauto kelio, prasidedančio nuo išvykimo taško ir baigiant atvykimo tašku, vektorius. Panaši taisyklė suformuluota bet kokio vektorių skaičiaus sumai. Kaip sakoma, kūnas gali eiti savo keliu stipriai zigzagu, o gal ir autopilotu – palei gautą sumos vektorių.

Beje, jei vektorius atidėtas nuo pradėti vektorius , tada gauname ekvivalentą lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas.

Pirma, apie vektorių kolineariškumą. Du vektoriai vadinami kolinearinis jei jie guli toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse. Grubiai tariant, mes kalbame apie lygiagrečius vektorius. Tačiau jų atžvilgiu visada vartojamas būdvardis „kolinearinis“.

Įsivaizduokite du kolinearinius vektorius. Jeigu šių vektorių rodyklės nukreiptos ta pačia kryptimi, tai tokie vektoriai vadinami bendros krypties. Jei rodyklės žiūri į skirtingas puses, tada vektoriai bus nukreipta priešingai.

Pavadinimai: vektorių kolineariškumas rašomas įprasta paralelizmo piktograma: , o detalizavimas galimas: (vektoriai nukreipti kartu) arba (vektoriai nukreipti priešingai).

dirbti iš nulinio vektoriaus skaičius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus , Ir vektoriai ir yra kartu nukreipti ir priešingai nukreipti į .

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę lengviau suprasti naudojant paveikslėlį:

Mes suprantame išsamiau:

1) Kryptis. Jei daugiklis yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptįį priešingą.

2) Ilgis. Jei koeficientas yra arba , tada vektoriaus ilgis mažėja. Taigi, vektoriaus ilgis yra du kartus mažesnis už vektoriaus ilgį. Jei modulio daugiklis yra didesnis nei vienas, tada vektoriaus ilgis dideja laiku.

3) Atkreipkite dėmesį į tai visi vektoriai yra kolineariniai, o vienas vektorius išreiškiamas per kitą, pavyzdžiui, . Ir atvirkščiai: jei vieną vektorių galima išreikšti kitu, tai tokie vektoriai būtinai yra kolineariniai. Šiuo būdu: jei vektorių padauginsime iš skaičiaus, gausime kolinearinį(palyginti su originalu) vektorius.

4) Vektoriai yra vienakrypčiai. Vektoriai ir taip pat yra bendros krypties. Bet kuris pirmosios grupės vektorius yra priešingas bet kuriam antrosios grupės vektoriui.

Kokie vektoriai yra lygūs?

Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra bendros krypties ir yra vienodo ilgio. Atkreipkite dėmesį, kad bendra kryptis reiškia, kad vektoriai yra kolineariniai. Apibrėžimas bus netikslus (perteklinis), jei sakysite: „Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra kolinearūs, nukreipti kartu ir yra vienodo ilgio“.

Laisvo vektoriaus sampratos požiūriu lygūs vektoriai yra tas pats vektorius, apie kurį jau buvo kalbama ankstesnėje pastraipoje.

Vektorinės koordinatės plokštumoje ir erdvėje

Pirmiausia reikia atsižvelgti į vektorius plokštumoje. Nubraižykite Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą ir atidėkite ją nuo pradžios viengungis vektoriai ir:

Vektoriai ir stačiakampis. Stačiakampis = statmenas. Rekomenduoju pamažu priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenumo atitinkamai vartojame žodžius kolineariškumas ir ortogonalumas.

Pavadinimas: vektorių ortogonalumas rašomas įprastu statmenu, pavyzdžiui: .

Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinačių vektoriai arba orts. Šie vektoriai susidaro pagrindu ant paviršiaus. Kas yra pagrindas, manau, daugeliui intuityviai aišku, išsamesnės informacijos rasite straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas.Paprasčiau tariant, koordinačių pagrindas ir kilmė apibrėžia visą sistemą – tai savotiškas pamatas, ant kurio verda pilnavertis ir turtingas geometrinis gyvenimas.

Kartais vadinamas konstruojamas pagrindas ortonormalus plokštumos pagrindas: „orto“ – kadangi koordinačių vektoriai yra stačiakampiai, būdvardis „normalizuotas“ reiškia vienetą, t.y. bazinių vektorių ilgiai lygūs vienetui.

Pavadinimas: pagrindas dažniausiai rašomas skliausteliuose, kurių viduje griežta tvarka pateikiami baziniai vektoriai, pvz.: . Koordinačių vektoriai tai uždrausta apsikeisti vietomis.

Bet koks plokštumos vektorius vienintelis kelias išreikštas kaip:
, kur - numeriai, kurie vadinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu. Bet pati išraiška paskambino vektoriaus skaidymaspagrindu .

Patiekiama vakarienė:

Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės: . Brėžinyje aiškiai matyti, kad skaidant vektorių pagal pagrindą, naudojami ką tik aptarti:
1) vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklė: ir ;
2) vektorių sudėjimas pagal trikampio taisyklę: .

Dabar mintyse atidėkite vektorių nuo bet kurio kito plokštumos taško. Visiškai akivaizdu, kad jo korupcija „negailestingai seks jį“. Štai, vektoriaus laisvė – vektorius „neša viską su savimi“. Ši savybė, žinoma, galioja bet kuriam vektoriui. Smagu, kad patys baziniai (laisvieji) vektoriai neturi būti atitraukti nuo pradžios, vieną galima nupiešti, pavyzdžiui, apačioje kairėje, o kitą – viršuje dešinėje, ir nuo to niekas nepasikeis! Tiesa, to daryti nereikia, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir netikėtoje vietoje ištrauks jums „pasitą“.

Vektoriai tiksliai iliustruoja vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę, vektorius nukreiptas kartu su baziniu vektoriumi, vektorius nukreiptas priešais pagrindinį vektorių. Šių vektorių viena iš koordinačių lygi nuliui, ją galima kruopščiai parašyti taip:


O baziniai vektoriai, beje, yra tokie: (iš tikrųjų jie išreiškiami per save).

Ir, galiausiai: , . Beje, kas yra vektorinė atimtis ir kodėl nepasakiau apie atimties taisyklę? Kažkur tiesinėje algebroje, nepamenu kur, pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas sudėjimo atvejis. Taigi vektorių „de“ ir „e“ išplėtimai ramiai užrašomi kaip suma: . Sekite brėžinį, kad pamatytumėte, kaip šiose situacijose veikia senas geras vektorių pridėjimas pagal trikampio taisyklę.

Svarstomas formos išskaidymas kartais vadinamas vektoriniu skaidymu sistemoje ort(t.y. vienetų vektorių sistemoje). Tačiau tai nėra vienintelis vektorių rašymo būdas, įprasta tokia parinktis:

Arba su lygybės ženklu:

Patys baziniai vektoriai užrašomi taip: ir

Tai yra, vektoriaus koordinatės nurodytos skliausteliuose. Praktinėse užduotyse naudojamos visos trys įrašymo galimybės.

Suabejojau, ar kalbėti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinačių negalima pertvarkyti. Griežtai pirmoje vietoje užrašykite koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių, griežtai antroje vietoje užrašykite koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių . Iš tiesų, ir yra du skirtingi vektoriai.

Lėktuve išsiaiškinome koordinates. Dabar apsvarstykite vektorius trimatėje erdvėje, čia viskas beveik taip pat! Bus pridėta tik dar viena koordinatė. Sunku atlikti trimačius brėžinius, todėl apsiribosiu vienu vektoriumi, kurį paprastumo dėlei atidėsiu nuo koordinačių pradžios:

Bet koks 3d erdvės vektorius vienintelis kelias išplėsti ortonormaliu pagrindu:
, kur yra vektoriaus (skaičiaus) koordinatės duotame pagrinde.

Pavyzdys iš paveikslėlio: . Pažiūrėkime, kaip čia veikia vektorinių veiksmų taisyklės. Pirma, vektorių padauginkite iš skaičiaus: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (rausvai raudona rodyklė). Antra, čia yra kelių, šiuo atveju trijų, vektorių pridėjimo pavyzdys: . Sumos vektorius prasideda nuo išvykimo taško (vektoriaus pradžios) ir baigiasi galutiniame atvykimo taške (vektoriaus pabaigoje).

Visi trimatės erdvės vektoriai, žinoma, taip pat yra laisvi, pabandykite mintyse atidėti vektorių iš bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo plėtimasis „lieka su juo“.

Panašiai kaip lėktuvo atveju, be rašymo plačiai naudojamos versijos su skliausteliais: arba .

Jei išplėtime trūksta vieno (arba dviejų) koordinačių vektorių, vietoj jų dedami nuliai. Pavyzdžiai:
vektorius (skrupulingai ) - užsirašyti ;
vektorius (skrupulingai ) - užsirašyti ;
vektorius (skrupulingai ) - užsirašyti .

Baziniai vektoriai užrašomi taip:

Čia, ko gero, yra visos minimalios teorinės žinios, reikalingos analitinės geometrijos uždaviniams spręsti. Galbūt yra per daug terminų ir apibrėžimų, todėl rekomenduoju manekenams dar kartą perskaityti ir dar kartą suprasti šią informaciją. Ir kiekvienam skaitytojui bus naudinga karts nuo karto kreiptis į pagrindinę pamoką, kad geriau įsisavintų medžiagą. Kolineariškumas, ortogonalumas, ortonormalus pagrindas, vektoriaus skaidymas – šios ir kitos sąvokos bus dažnai naudojamos toliau. Atkreipiu dėmesį, kad svetainės medžiagos nepakanka norint išlaikyti teorinį testą, geometrijos koliokviumą, nes aš kruopščiai užšifruoju visas teoremas (be įrodymų) - tai kenkia moksliniam pateikimo stiliui, bet pliusas jūsų supratimui dalyko. Norėdamas gauti išsamią teorinę informaciją, prašau nusilenkti profesoriui Atanasyanui.

Dabar pereikime prie praktinės dalies:

Paprasčiausi analitinės geometrijos uždaviniai.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse

Užduotys, kurios bus svarstomos, labai pageidautina išmokti jas išspręsti visiškai automatiškai, ir formules įsiminti, net tyčia neprisimins, jie patys prisimins =) Tai labai svarbu, nes kitos analitinės geometrijos problemos yra pagrįstos paprasčiausiais elementariais pavyzdžiais ir bus nemalonu praleisti papildomą laiką valgant pėstininkus. Nereikia užsisegti viršutinių marškinių sagų, daug dalykų žinote iš mokyklos laikų.

Medžiagos pristatymas vyks lygiagrečiai – tiek plokštumai, tiek erdvei. Dėl to, kad visos formulės ... pamatysite patys.

Kaip rasti vektorių, kuriame yra du taškai?

Jei du plokštumos taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates:

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, vektorius turi šias koordinates:

Tai yra, nuo vektoriaus galo koordinačių reikia atimti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.

Pratimas: Tiems patiems taškams užrašykite vektoriaus koordinačių radimo formules. Formulės pamokos pabaigoje.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į du taškus plokštumoje ir . Raskite vektorių koordinates

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Arba galima naudoti šį žymėjimą:

Estetai nuspręs taip:

Asmeniškai aš pripratau prie pirmosios įrašo versijos.

Atsakymas:

Pagal sąlygą nereikėjo statyti brėžinio (tai būdinga analitinės geometrijos uždaviniams), bet, norėdamas paaiškinti kai kuriuos dalykus manekenams, nepatingėsiu:

Reikia suprasti skirtumas tarp taško koordinačių ir vektorių koordinačių:

Taško koordinatės yra įprastos koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Manau, visi nuo 5-6 klasės moka braižyti taškus koordinačių plokštumoje. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą plokštumoje ir jų niekur negalima perkelti.

To paties vektoriaus koordinatės yra jo išplėtimas pagrindo atžvilgiu , šiuo atveju . Bet kuris vektorius yra laisvas, todėl, esant norui ar poreikiui, galime lengvai jį atidėti iš kito plokštumos taško. Įdomu tai, kad vektoriams ašių išvis negalima statyti, stačiakampės koordinačių sistemos, reikia tik pagrindo, šiuo atveju ortonormalaus plokštumos pagrindo.

Taško koordinačių ir vektorinių koordinačių įrašai atrodo panašūs: , ir koordinačių pojūtis absoliučiai skirtinga, ir jūs turėtumėte gerai žinoti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja ir erdvei.

Ponios ir ponai, pripildome rankas:

2 pavyzdys

a) Atsižvelgiant į taškus ir . Raskite vektorius ir .
b) Skiriami taškai ir . Raskite vektorius ir .
c) Atsižvelgiant į taškus ir . Raskite vektorius ir .
d) Skiriami taškai. Raskite vektorius .

Galbūt pakankamai. Tai pavyzdžiai savarankiškam apsisprendimui, pasistenkite jų neapleisti, atsipirks ;-). Brėžiniai nereikalingi. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Kas svarbu sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius? Svarbu būti YPAČ ATSARGIAI, kad išvengtumėte meistriškos klaidos „du plius du lygu nuliui“. Iš anksto atsiprašau, jei suklydau =)

Kaip sužinoti atkarpos ilgį?

Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.

Jei pateikti du plokštumos taškai ir, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Jei du taškai erdvėje yra pateikti, atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė

3 pavyzdys

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Aiškumo dėlei padarysiu piešinį

Skyrius - tai ne vektorius, ir jūs, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei užpildysite brėžinį pagal mastelį: 1 vnt. \u003d 1 cm (dvi tetrados langeliai), tada atsakymą galima patikrinti įprastu liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.

Taip, sprendimas trumpas, bet jame yra keletas svarbių punktų, kuriuos norėčiau patikslinti:

Pirma, atsakyme nustatome matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl bendra formuluotė bus matematiškai kompetentingas sprendimas: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.

Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik nagrinėjamai problemai:

atkreipkite dėmesį į svarbus techninis triukas – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami gavome rezultatą, o geras matematinis stilius apima faktoriaus paėmimą iš šaknies (jei įmanoma). Procesas detaliau atrodo taip: . Žinoma, atsakymo palikimas formoje nebus klaida – bet tai tikrai trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo niūrumo.

Štai kiti dažni atvejai:

Pavyzdžiui, dažnai pakankamai didelis skaičius gaunamas po šaknimi. Kaip tokiais atvejais būti? Skaičiuoklėje patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4:. Taip, visiškai padalinti, taigi: . O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Šiuo būdu: . Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 aiškiai neįmanoma. Bandoma padalyti iš devynių: . Kaip rezultatas:
Paruošta.

Išvada: jei po šaknimi gauname sveikąjį skaičių, kurio negalima išgauti, tada bandome ištraukti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu tikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir kt.

Sprendžiant įvairias problemas dažnai randamos šaknys, visada stengiamasi ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte mažesnio balo ir bereikalingų nesklandumų baigiant savo sprendimus pagal mokytojo pastabą.

Kartu pakartokime šaknų ir kitų galių kvadratūravimą:

Veiksmų su laipsniais taisykles bendra forma galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau, kad viskas arba beveik viskas jau aišku iš pateiktų pavyzdžių.

Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys

Duoti taškai ir . Raskite atkarpos ilgį.

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

Jei duotas plokštumos vektorius, tai jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę.

Jei duotas erdvės vektorius, tai jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę .