Nustatykite pagrindinę vienalyčio šlakelio sprendinių sistemą. Kaip rasti netrivialų ir esminį tiesinių vienarūšių lygčių sistemos sprendimą

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimas neabejotinai yra pati svarbiausia tiesinės algebros kurso tema. Daugybė problemų iš visų matematikos šakų sumažinamos iki sistemų sprendimo tiesines lygtis. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio kūrimo priežastį. Straipsnio medžiaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba galėtumėte

• pasirinkti optimalų metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti,
• studijuoti pasirinkto metodo teoriją,
• Išspręskite savo tiesinių lygčių sistemą, išsamiai apsvarstę tipinių pavyzdžių ir uždavinių sprendimus.

Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.

Pirmiausia pateikiame visus reikiamus apibrėžimus, sąvokas ir įvedame tam tikrą žymėjimą.

Toliau nagrinėjame linijinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurios turi unikalų sprendimą, sprendimo būdus. Pirma, sutelkime dėmesį į Cramerio metodą, antra, parodysime matricos metodą tokioms lygčių sistemoms spręsti ir, trečia, analizuosime Gauso metodą (nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo metodą). Norėdami įtvirtinti teoriją, tikrai įvairiais būdais išspręsime keletą SLAE.

Po to pereiname prie bendros formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi, sprendimo. Suformuluojame Kronecker-Capelli teoremą, kuri leidžia nustatyti SLAE suderinamumą. Panagrinėkime sistemų sprendimą (jų suderinamumo atveju) naudodami matricos bazinio minoro sąvoką. Taip pat apsvarstysime Gauso metodą ir išsamiai apibūdinsime pavyzdžių sprendimus.

Būtinai apsistokite ties vienarūšių ir nehomogeniškų tiesinių algebrinių lygčių sistemų bendrojo sprendimo struktūra. Pateiksime pamatinės sprendinių sistemos sampratą ir parodykime, kaip bendrasis SLAE sprendimas rašomas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius. Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Apibendrinant, mes atsižvelgiame į lygčių sistemas, kurios yra sumažintos iki tiesinių, taip pat į įvairias problemas, kurias sprendžiant kyla SLAE.

Puslapio naršymas.

Apibrėžimai, sąvokos, pavadinimai.

Nagrinėsime p tiesinių algebrinių lygčių sistemas su n nežinomų kintamųjų (p gali būti lygus n ) formos

Nežinomi kintamieji, - koeficientai (kai kurie realieji arba kompleksiniai skaičiai), - laisvieji nariai (taip pat realieji ar kompleksiniai skaičiai).

Ši SLAE forma vadinama koordinuoti.

AT matricos formaši lygčių sistema turi formą,
kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų matrica-stulpelis, - laisvųjų narių matrica-stulpelis.

Jei prie matricos A kaip (n + 1)-ąjį stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai padidinta matrica žymima raide T, o laisvųjų narių stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,

Sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą vadinamas nežinomų kintamųjų reikšmių rinkiniu, kuris visas sistemos lygtis paverčia tapatybėmis. Nurodytų nežinomų kintamųjų verčių matricos lygtis taip pat virsta tapatybe.

Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį, tada ji vadinama Bendras.

Jei lygčių sistema neturi sprendinių, tada ji vadinama nesuderinamas.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada - neapibrėžtas.

Jeigu visų sistemos lygčių laisvieji nariai lygūs nuliui , tada sistema iškviečiama vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Elementariųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, vadinsime tokias SLAE elementarus. Tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji yra lygūs nuliui.

Mes pradėjome studijuoti tokius SLAE m vidurinė mokykla. Jas spręsdami paėmėme vieną lygtį, vieną nežinomą kintamąjį išreiškėme kitomis ir pakeitėme į likusias lygtis, tada paėmėme kitą lygtį, išreiškėme kitą nežinomą kintamąjį ir pakeitėme į kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo pridėjimo metodą, tai yra, jie pridėjo dvi ar daugiau lygčių, kad pašalintų kai kuriuos nežinomus kintamuosius. Mes nenagrinėsime šių metodų išsamiai, nes jie iš esmės yra Gauso metodo modifikacijos.

Pagrindiniai elementariųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Sutvarkykime juos.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Cramerio metodu.

Išspręskime tiesinių algebrinių lygčių sistemą

kurioje lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, .

Leisti būti pagrindinės sistemos matricos determinantas ir yra determinantai matricų, kurios gaunamos iš A pakeičiant 1, 2, …, n stulpelyje atitinkamai į laisvųjų narių stulpelį:

Su tokiu žymėjimu nežinomi kintamieji apskaičiuojami pagal Cramerio metodo formules as . Taip Kramerio metodu randamas tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas.

Pavyzdys.

Cramerio metodas .

Sprendimas.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą . Apskaičiuokite jo determinantą (jei reikia, žr. straipsnį):

Kadangi sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra nulis, tai sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti Cramerio metodu.

Sudarykite ir apskaičiuokite reikiamus determinantus (determinantas gaunamas pirmą matricos A stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, determinantas - antrąjį stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, - trečią matricos A stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu ):

Nežinomų kintamųjų paieška naudojant formules :

Atsakymas:

Pagrindinis Cramerio metodo trūkumas (jei jį galima pavadinti trūkumu) yra determinantų skaičiavimo sudėtingumas, kai sistemos lygčių skaičius yra didesnis nei trys.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas matriciniu metodu (naudojant atvirkštinę matricą).

Tegul tiesinių algebrinių lygčių sistema pateikiama matricos forma , kur matricos A matmenys yra n x n, o jos determinantas nėra lygus nuliui.

Kadangi , Tada matrica A yra apverčiama, tai yra, yra atvirkštinė matrica . Jei abi lygybės dalis padauginsime iš kairės, tai gausime formulę nežinomų kintamųjų stulpelių matricai rasti. Taigi gavome tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodu.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą matricos metodas.

Sprendimas.

Perrašykime lygčių sistemą matricine forma:

Kaip

tada SLAE galima išspręsti matricos metodu. Per atvirkštinė matricašios sistemos sprendimą galima rasti kaip .

Sukurkime atvirkštinę matricą naudodami matricos A elementų algebrinių komplementų matricą (jei reikia, žr. straipsnį):

Belieka paskaičiuoti – nežinomų kintamųjų matricą padauginus atvirkštinę matricą laisvų narių matricos stulpelyje (jei reikia, žr. straipsnį):

Atsakymas:

arba kitu žymėjimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Pagrindinė problema ieškant sprendimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoms matricos metodu yra atvirkštinės matricos paieškos sudėtingumas, ypač kvadratinėms matricoms, kurių eilė aukštesnė už trečiąją.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.

Tarkime, kad turime rasti n tiesinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sistemos sprendimą
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirma, x 1 neįtraukiamas į visas sistemos lygtis, pradedant nuo antrosios, tada x 2 neįtraukiamas iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios ir tt, kol tik nežinomas kintamasis. x n lieka paskutinėje lygtyje. Toks sistemos lygčių transformavimo procesas, skirtas nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Užbaigus Gauso metodo vykdymą, x n randamas pagal paskutinę lygtį, x n-1 apskaičiuojamas iš priešpaskutinės lygties, naudojant šią reikšmę, ir tt x 1 randamas iš pirmosios lygties. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Nežinomą kintamąjį x 1 pašaliname iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir taip toliau, pridėkite pirmąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur .

Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje išreikštume x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtoji lygtis pridedame antrąjį, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąjį, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, elgdamiesi panašiai su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir taip toliau, randame x 1 iš pirmoji lygtis.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, prie abiejų antrosios ir trečiosios lygčių dalių pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas atitinkamai iš ir iš:

Dabar iš trečiosios lygties neįtraukiame x 2, prie jos kairės ir dešinės dalių pridėdami antrosios lygties kairę ir dešinę dalis, padaugintą iš:

Tuo baigiamas Gauso metodo į priekį kursas, pradedame atvirkštinį kursą.

Iš gautos lygčių sistemos paskutinės lygties randame x 3:

Iš antrosios lygties gauname .

Iš pirmosios lygties randame likusį nežinomą kintamąjį ir tai užbaigia atvirkštinę Gauso metodo eigą.

Atsakymas:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Bendruoju atveju sistemos p lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi n:

Tokie SLAE gali neturėti sprendimų, turėti vieną sprendimą arba turėti be galo daug sprendimų. Šis teiginys taip pat taikomas lygčių sistemoms, kurių pagrindinė matrica yra kvadratinė ir išsigimusi.

Kronecker-Capelli teorema.

Prieš randant tiesinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jos suderinamumą. Pateikiamas atsakymas į klausimą, kada SLAE suderinamas, o kada nesuderinamas Kronecker-Capelli teorema:
kad p lygčių sistema su n nežinomųjų (p gali būti lygi n ) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad pagrindinės sistemos matricos rangas būtų lygus išplėstinės matricos rangui, tai yra Rank( A)=Reitingas(T) .

Kaip pavyzdį panagrinėkime Kronecker-Cappelli teoremos taikymą tiesinių lygčių sistemos suderinamumui nustatyti.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar tiesinių lygčių sistema turi sprendimus.

Sprendimas.

. Naudokime nepilnamečių ribojimo metodą. Antrosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Panagrinėkime jį supančius trečios eilės nepilnamečius:

Kadangi visi besiribojantys trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, pagrindinės matricos rangas yra du.

Savo ruožtu padidintos matricos rangas yra lygus trims, nes trečios eilės nepilnametis

skiriasi nuo nulio.

Taigi, Diapazonas(A) , todėl pagal Kronecker-Capelli teoremą galime daryti išvadą, kad pradinė tiesinių lygčių sistema yra nenuosekli.

Atsakymas:

Sprendimo sistemos nėra.

Taigi, mes išmokome nustatyti sistemos nenuoseklumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.

Bet kaip rasti SLAE sprendimą, jei nustatytas jo suderinamumas?

Norėdami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinio minoro sampratos ir matricos rango teoremos.

Iškviečiama matricos A aukščiausios eilės mažoji, išskyrus nulį pagrindinis.

Iš bazinio minoro apibrėžimo matyti, kad jo eilė lygi matricos rangui. Nenulinėje matricoje A gali būti keli pagrindiniai minorai; visada yra vienas pagrindinis minoras.

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .

Visi šios matricos trečiosios eilės minoriniai yra lygūs nuliui, nes šios matricos trečiosios eilės elementai yra atitinkamų pirmosios ir antrosios eilučių elementų suma.

Šie antros eilės nepilnamečiai yra pagrindiniai, nes jie nėra lygūs nuliui

Nepilnamečiai nėra pagrindiniai, nes jie lygūs nuliui.

Matricos rango teorema.

Jei matricos, kurios eilės p pagal n, rangas yra r, tai visi matricos eilučių (ir stulpelių) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindinio mažojo, yra tiesiškai išreiškiami atitinkamais eilučių (ir stulpelių) elementais. ), kurie sudaro pagrindinį nepilnametį.

Ką mums suteikia matricos rango teorema?

Jei Kronecker-Capelli teorema nustatėme sistemos suderinamumą, tada pasirenkame bet kurį pagrindinį pagrindinės sistemos matricos minorą (jos eilė lygi r) ir iš sistemos pašaliname visas lygtis, kurios sudaryti pasirinktą pagrindinį minorą. Tokiu būdu gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes išmestos lygtys vis dar yra perteklinės (pagal matricos rango teoremą, tai yra tiesinis likusių lygčių derinys).

Dėl to, atmetus perteklines sistemos lygtis, galimi du atvejai.

Jei lygčių skaičius r gautoje sistemoje yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tai jis bus apibrėžtas ir vienintelis sprendimas gali būti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem, nes antros eilės minorinis skiriasi nuo nulio. Išplėstinis matricos rangas taip pat yra lygus dviem, nes vienintelis trečiosios eilės minoras yra lygus nuliui

o pirmiau nagrinėjamas antros eilės minoras skiriasi nuo nulio. Remiantis Kronecker-Capelli teorema, galima teigti pirminės tiesinių lygčių sistemos suderinamumą, nes Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kaip pagrindą imamės nepilnamečio . Jį sudaro pirmosios ir antrosios lygčių koeficientai:


Trečioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją ištraukiame iš sistemos pagal matricos rango teoremą:


Taip gavome elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Išspręskime tai Cramerio metodu:


Atsakymas:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jei lygčių skaičius r gautoje SLAE mažesnis už skaičių nežinomų kintamųjų n, tada kairėje lygčių pusėje paliekame pagrindą sudarančius narius mažuosius, o likusius narius perkeliame į dešinę sistemos lygčių pusę su priešingu ženklu.

Nežinomi kintamieji (jų yra r), likę kairėje lygčių pusėje, vadinami pagrindinis.

Nežinomi kintamieji (jų yra n - r), kurie atsidūrė dešinėje, vadinami Laisvas.

Dabar darome prielaidą, kad laisvieji nežinomi kintamieji gali turėti savavališkas reikšmes, o r pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti laisvaisiais nežinomais kintamaisiais unikaliu būdu. Jų išraišką galima rasti išsprendus gautą SLAE Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Paimkime pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių algebrinių lygčių sistemą .

Sprendimas.

Raskite pagrindinės sistemos matricos rangą besiribojančių nepilnamečių metodu. Paimkime 1 1 = 1 kaip nulinį pirmos eilės mažąjį. Pradėkime ieškoti ne nulio antros eilės nepilnamečio, kuris supa šį nepilnametį:


Taigi radome ne nulį antros eilės minorą. Pradėkime ieškoti trečiosios eilės nepilnamečio, besiribojančio su nuliu:


Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Papildytos matricos rangas taip pat lygus trims, tai yra, sistema yra nuosekli.

Rastas ne nulis trečios eilės minoras bus laikomas baziniu.

Aiškumo dėlei parodome elementus, kurie sudaro pagrindinį mažąjį:


Terminus, dalyvaujančius pagrindiniame minore, paliekame sistemos lygčių kairėje pusėje, o likusius su priešingais ženklais perkeliame į dešiniąsias puses:


Pateikiame laisvus nežinomus kintamuosius x 2 ir x 5 savavališkas reikšmes, tai yra, imame , kur yra savavališki skaičiai. Šiuo atveju SLAE įgauna formą


Gautą elementariąją tiesinių algebrinių lygčių sistemą sprendžiame Kramerio metodu:


Vadinasi,.

Atsakyme nepamirškite nurodyti laisvų nežinomų kintamųjų.

Atsakymas:

Kur yra savavališki skaičiai.

Apibendrinti.

Norėdami išspręsti bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemą, pirmiausia išsiaiškiname jos suderinamumą naudodamiesi Kronecker-Capelli teorema. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos rangui, tada darome išvadą, kad sistema yra nenuosekli.

Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada pasirenkame pagrindinį minorą ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinktą pagrindinį minorą.

Jeigu įsakymas pagrindo nepilnametis yra lygus skaičiui nežinomų kintamųjų, tada SLAE turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti bet kokiu mums žinomu metodu.

Jei pagrindinės mažosios eilės tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tai kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame terminus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likusius terminus perkeliame į dešinę ir suteikiame savavališkas reikšmes ​į laisvus nežinomus kintamuosius. Iš gautos tiesinių lygčių sistemos pagrindinius nežinomus kintamuosius randame Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Gauso metodas bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti.

Naudojant Gauso metodą, galima išspręsti bet kokios rūšies tiesinių algebrinių lygčių sistemas be išankstinio jų suderinamumo tyrimo. Nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo procesas leidžia padaryti išvadą apie SLAE suderinamumą ir nenuoseklumą, o jei sprendimas yra, jį galima rasti.

Skaičiavimo požiūriu pirmenybė teikiama Gauso metodui.

Ziurek Išsamus aprašymas ir analizavo pavyzdžius straipsnyje Gauso metodas sprendžiant bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių algebrinių sistemų bendrojo sprendinio fiksavimas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius.

Šiame skyriuje mes sutelksime dėmesį į jungtines vienarūšes ir nehomogenines tiesinių algebrinių lygčių sistemas, turinčias begalinį sprendinių skaičių.

Pirmiausia panagrinėkime vienarūšes sistemas.

Fundamentali sprendimų sistema homogeninės p tiesinių algebrinių lygčių sistemos su n nežinomų kintamųjų yra (n – r) tiesiškai nepriklausomų šios sistemos sprendinių aibė, kur r yra pagrindinės sistemos matricos bazinio minoro eilė.

Jei tiesiškai nepriklausomus vienalytės SLAE sprendimus pažymėsime kaip X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) yra n matmenų matricų stulpeliai 1 ) , tada šios vienalytės sistemos bendras sprendinys pavaizduotas kaip pagrindinės sprendinių sistemos vektorių tiesinė kombinacija su savavališkais pastoviais koeficientais С 1 , С 2 , …, С (n-r), tai yra, .

Ką reiškia terminas homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos bendrasis sprendimas (oroslau)?

Reikšmė paprasta: formulė apibrėžia visus galimus pradinio SLAE sprendinius, kitaip tariant, imant bet kokį savavališkų konstantų C 1 , C 2 , ..., C (n-r) reikšmių rinkinį, pagal formulę mes gaus vieną iš originalaus vienalyčio SLAE sprendinių.

Taigi, jei rasime pagrindinė sistema sprendimus, tada visus šio vienalyčio SLAE sprendimus galime nustatyti kaip .

Parodykime pagrindinės vienalytės SLAE sprendimų sistemos konstravimo procesą.

Parenkame pradinės tiesinių lygčių sistemos pagrindinį minorą, iš sistemos išbraukiame visas kitas lygtis, o į dešinę sistemos lygčių pusę su priešingais ženklais perkeliame visus terminus, kuriuose yra laisvųjų nežinomų kintamųjų. Laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikime reikšmes 1,0,0,…,0 ir apskaičiuokime pagrindinius nežinomuosius, bet kokiu būdu išspręsdami gautą elementarią tiesinių lygčių sistemą, pavyzdžiui, Cramerio metodu. Taigi bus gautas X (1) – pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei laisviesiems nežinomiesiems duosime reikšmes 0,1,0,0,…,0 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (2) . ir kt. Jei laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteiksime reikšmes 0,0,…,0,1 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (n-r) . Taip bus sukonstruota pamatinė vienalytės SLAE sprendinių sistema ir jos bendras sprendimas gali būti parašytas forma .

Nehomogeninėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms bendras sprendimas pavaizduotas kaip

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindinę sprendinių sistemą ir bendrą homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą .

Sprendimas.

Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų pagrindinės matricos rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Raskime pagrindinės matricos rangą nepilnamečių ribojimo metodu. Kaip pirmos eilės minorą, imame pagrindinės sistemos matricos elementą a 1 1 = 9. Raskite antrosios eilės besiribojantį ne nulį mažą:

Randamas antros eilės minoras, kitoks nei nulis. Pereikime per trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo, ieškodami nulinio vieneto:

Visi besiribojantys trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos rangas yra du. Paimkime pagrindinį minorą. Aiškumo dėlei atkreipiame dėmesį į ją sudarančius sistemos elementus:

Trečioji originalios SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją galima atmesti:

Sąvokas, kuriose yra pagrindiniai nežinomieji, paliekame dešiniosiose lygčių pusėse, o terminus su laisvaisiais nežinomaisiais perkeliame į dešinę:

Sukurkime pagrindinę pirminės vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą. Pagrindinė šio SLAE sprendimų sistema susideda iš dviejų sprendinių, nes originaliame SLAE yra keturi nežinomi kintamieji, o jo pagrindinės minorinės eilės tvarka yra dvi. Norėdami rasti X (1), laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikiame reikšmes x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, tada randame pagrindinius nežinomus iš lygčių sistemos
.

Tiesinė lygtis vadinama vienalytis jei jo kirtis lygi nuliui, o kitu atveju nehomogeniška. Sistema, susidedanti iš vienarūšės lygtys, vadinamas vienarūšiu ir turi bendra forma:

Akivaizdu, kad bet kuri vienalytė sistema yra nuosekli ir turi nulinį (trivialų) sprendimą. Todėl, taikant vienarūšėms tiesinių lygčių sistemoms, dažnai tenka ieškoti atsakymo į klausimą, ar egzistuoja nuliniai sprendimai. Atsakymas į šį klausimą gali būti suformuluotas kaip tokia teorema.

Teorema . Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių .

Įrodymas: Tarkime, kad sistema, kurios rangas yra lygus, turi nulinį sprendimą. Akivaizdu, kad neviršija. Tokiu atveju sistema turi unikalų sprendimą. Kadangi vienalyčių tiesinių lygčių sistema visada turi nulinį sprendimą, būtent nulinis sprendimas bus šis unikalus sprendimas. Taigi nuliniai sprendimai galimi tik .

1 išvada : Vienalytė lygčių sistema, kurioje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, visada turi nulinį sprendinį.

Įrodymas: Jeigu lygčių sistema turi , tai sistemos rangas neviršija lygčių skaičiaus , t.y. . Taigi sąlyga yra įvykdyta, todėl sistema turi nulinį sprendimą.

2 pasekmė : Vienalytė lygčių sistema su nežinomaisiais turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos determinantas yra nulis.

Įrodymas: Tarkime tiesinių vienarūšių lygčių sistemą, kurios matrica su determinantu turi nulinį sprendinį. Tada pagal įrodytą teoremą, o tai reiškia, kad matrica yra išsigimusi, t.y. .

Kronecker-Capelli teorema: SLE yra nuoseklus tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus šios sistemos išplėstinės matricos rangui. Sistema ur-th vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendimą.

Homogeninė tiesinių algebrinių lygčių sistema.

M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų vadinama tiesinių vienarūšių lygčių sistema, jei visi laisvieji nariai lygūs 0. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema visada suderinama, nes jis visada turi bent nulinį sprendimą. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos koeficientų matricos rangas prie kintamųjų yra mažesnis už kintamųjų skaičių, t.y. rangui A (n. Bet koks tiesinis derinys

linijų sistemos sprendiniai. vienalytis ur-ii taip pat yra šios sistemos sprendimas.

Tiesiškai nepriklausomų sprendinių e1, e2,…,ek sistema vadinama fundamentalia, jei kiekvienas sistemos sprendinys yra tiesinis sprendinių derinys. Teorema: jei tiesinių vienarūšių lygčių sistemos kintamųjų koeficientų matricos eilė r yra mažesnė už kintamųjų skaičių n, tai bet kuri fundamentali sistemos sprendinių sistema susideda iš n-r sprendinių. Todėl bendras linijų sistemos sprendimas. viengungis ur-th turi formą: c1e1+c2e2+…+ckek, kur e1, e2,…, ek yra bet kokia pagrindinė sprendinių sistema, c1, c2,…,ck yra savavališki skaičiai ir k=n-r. M tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų bendras sprendinys yra lygus sumai

jį atitinkantis sistemos bendras sprendinys yra vienalytis. tiesines lygtis ir savavališką konkretų šios sistemos sprendimą.

7. Linijinės erdvės. Potarpiai. Pagrindas, matmuo. Linijinis apvalkalas. Linijinė erdvė vadinama n matmenų, jei joje yra tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema ir bet kuri sistema daugiau vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Skambina numeriu matmenys (matavimų skaičius) tiesinė erdvė ir žymima . Kitaip tariant, erdvės matmuo yra maksimalus tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius toje erdvėje. Jei toks skaičius egzistuoja, tada sakoma, kad erdvė yra baigtinė. Jei bet kuriam natūraliajam skaičiui n erdvėje yra sistema, susidedanti iš tiesiškai nepriklausomų vektorių, tai tokia erdvė vadinama begalinės dimensijos (parašyta: ). Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjamos baigtinių matmenų erdvės.

n-matės tiesinės erdvės pagrindas yra tvarkinga tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys ( baziniai vektoriai).

8.1 teorema apie vektoriaus plėtimąsi pagrindu. Jei yra n-matės tiesinės erdvės pagrindas, tai bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis bazinių vektorių derinys:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ir, be to, unikaliu būdu, t.y. koeficientai nustatomi vienareikšmiškai. Kitaip tariant, bet koks erdvės vektorius gali būti išplėstas pagrindu ir, be to, unikaliu būdu.

Iš tiesų, erdvės matmuo yra . Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma (tai yra pagrindas). Sujungus bet kurį vektorių prie pagrindo, gauname tiesiškai priklausomą sistemą (kadangi ši sistema susideda iš vektorių n-matėje erdvėje). Pagal 7 tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų vektorių savybę gauname teoremos išvadą.

1 pavyzdys. Raskite bendrą sprendimą ir pagrindinę sistemos sprendimų sistemą

Sprendimas rasti su skaičiuotuvu. Sprendimo algoritmas yra toks pat kaip ir tiesinių nehomogeninių lygčių sistemoms.
Veikdami tik su eilutėmis, randame matricos rangą, pagrindinį minorą; paskelbiame priklausomus ir laisvuosius nežinomuosius ir randame bendrą sprendimą.

Pirmoji ir antroji eilutės yra proporcingos, viena iš jų bus ištrinta:

.
Priklausomi kintamieji – x 2, x 3, x 5, laisvi – x 1, x 4. Iš pirmosios lygties 10x 5 = 0 randame x 5 = 0, tada
; .
Bendras sprendimas atrodo taip:

Randame pamatinę sprendinių sistemą, kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=3, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi. Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilučių elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, tai yra 2. Pakanka laisviesiems nežinomiesiems pateikti x 1 ir x Iš antrosios eilės determinanto, kuris skiriasi nuo nulio, eilučių išrinkite 4 reikšmes ir apskaičiuokite x 2 , x 3 , x 5 . Paprasčiausias nulinis determinantas yra .
Taigi pirmasis sprendimas yra: , Antras - .
Šie du sprendimai sudaro pagrindinę sprendimų sistemą. Atminkite, kad pagrindinė sistema nėra unikali (determinantų, išskyrus nulį, galima sudaryti tiek, kiek norite).

2 pavyzdys. Raskite bendrą sprendimą ir pagrindinę sistemos sprendinių sistemą
Sprendimas.



,
iš to išplaukia, kad matricos rangas yra 3 ir yra lygus nežinomųjų skaičiui. Tai reiškia, kad sistema neturi laisvų nežinomųjų, todėl turi unikalų sprendimą – trivialų.

Pratimas . Ištirkite ir išspręskite tiesinių lygčių sistemą.
4 pavyzdys

Pratimas . Raskite bendrus ir konkrečius sprendimus kiekvienai sistemai.
Sprendimas. Rašome pagrindinę sistemos matricą:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Mes atnešame matricą į trikampis. Dirbsime tik su eilutėmis, nes matricos eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus ir pridėjus ją į kitą sistemos eilutę, lygtį padauginsime iš to paties skaičiaus ir pridėsime prie kitos lygties, kuri nekeičia sprendinio. sistemos.
2-ąją eilutę padauginkite iš (-5). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2-ąją eilutę padauginkite iš (6). Padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:
Raskite matricos rangą.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Pasirinktas minoras turi aukščiausią eilę (iš visų galimų mažųjų) ir yra ne nulis (ji yra lygi elementų sandaugai, esanti reciprokinėje įstrižainėje), vadinasi, rangas (A) = 2.
Šis nepilnametis yra pagrindinis. Tai apima koeficientus nežinomiems x 1, x 2, o tai reiškia, kad nežinomi x 1, x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3, x 4, x 5 yra laisvi.
Transformuojame matricą, palikdami tik pagrindinį minorą kairėje.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi tokią formą:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Nežinomų pašalinimo metodu randame ne trivialus sprendimas:
Gavome ryšius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius x 1 ,x 2 per laisvuosius x 3 ,x 4 ,x 5 , tai yra, radome bendras sprendimas:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = – 0,55 x 4 – 1,82 x 3 – 0,64 x 5
Randame pamatinę sprendinių sistemą, kurią sudaro (n-r) sprendiniai.
Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pamatinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.
Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilučių elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.
Pakanka pateikti laisviesiems nežinomiesiems x 3 ,x 4 ,x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto eilučių, besiskiriančių nuo nulio, ir apskaičiuoti x 1 ,x 2 .
Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Užduotis. Raskite pagrindinę vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinį.

Galite užsisakyti išsamus sprendimas tavo užduotis!!!

Norėdami suprasti, kas yra pagrindinė sprendimų sistema to paties pavyzdžio vaizdo pamoką galite peržiūrėti spustelėję . Dabar pereikime prie visų būtinų darbų aprašymo. Tai padės išsamiau suprasti šio klausimo esmę.

Kaip rasti pagrindinę tiesinės lygties sprendinių sistemą?

Paimkite, pavyzdžiui, šią tiesinių lygčių sistemą:

Raskime sprendimą linijinė sistema lygtys. Norėdami pradėti, mes užrašykite sistemos koeficientų matricą.

Paverskime šią matricą į trikampę. Pirmą eilutę perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, kurių vertė yra mažesnė nei $a_(11)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami padaryti nulį elemento $a_(21)$ vietoje, iš antrosios eilutės reikia atimti pirmąjį, o skirtumą įrašyti antroje eilutėje. Kad elemento $a_(31)$ vietoje būtų nulis, iš trečios eilutės reikia atimti pirmąjį ir trečioje eilutėje įrašyti skirtumą. Norėdami vietoj elemento $a_(41)$ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės turite atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš penktos eilutės atimkite pirmąjį, padaugintą iš 2, ir penktoje eilutėje parašykite skirtumą.

Pirmą ir antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, kurie yra mažesni nei $a_(22)$, turi būti padaryti nuliais. Norint padaryti nulį elemento $a_(32)$ vietoje, reikia iš trečios eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą į trečią eilutę. Norint padaryti nulį elemento $a_(42)$ vietoje, reikia iš ketvirtos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(52)$ padaryti nulį, iš penktos eilutės atimkite antrąjį, padaugintą iš 3, ir penktoje eilutėje parašykite skirtumą.

Mes tai matome paskutinės trys eilutės yra vienodos, taigi, jei iš ketvirto ir penkto atimsite trečiąjį, tada jie taps nuliu.

Šiai matricai užsirašyti nauja sistema lygtys.

Matome, kad turime tik tris tiesiškai nepriklausomas lygtis ir penkis nežinomuosius, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų vektorių. Taigi mes perkelkite paskutinius du nežinomuosius į dešinę.

Dabar mes pradedame išreikšti tuos nežinomus dalykus, kurie yra kairėje pusėje, per tuos, kurie yra dešinėje. Pradedame nuo paskutinės lygties, pirmiausia išreiškiame $x_3$, tada gautą rezultatą pakeičiame į antrą lygtį ir išreiškiame $x_2$, o po to į pirmą lygtį ir čia išreiškiame $x_1$. Taigi mes išreiškėme visus nežinomus, kurie yra kairėje pusėje, per nežinomus, kurie yra dešinėje.

Po to vietoj $x_4$ ir $x_5$ galite pakeisti bet kokius skaičius ir rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$. Kiekvienas toks penki skaičiai bus mūsų pradinės lygčių sistemos šaknys. Norėdami rasti vektorius, kurie yra įtraukti į FSR turime pakeisti 1 vietoj $x_4$, o vietoj $x_5$ pakeisti 0, rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$, o tada atvirkščiai $x_4=0$ ir $x_5=1$.

Matricos duomenys

Raskite: 1) aA - bB,

Sprendimas: 1) Mes randame nuosekliai, naudodamiesi matricos dauginimo iš skaičiaus ir matricų pridėjimo taisyklėmis ..

2. Raskite A*B, jei

Sprendimas: naudokite matricos daugybos taisyklę

Atsakymas:

3. Pateiktoje matricoje raskite mažąjį M 31 ir apskaičiuokite determinantą.

Sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš A, determinantas

ištrynus 3 eilutę ir 1 stulpelį. Rasti

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformuokime matricą A nekeisdami jos determinanto (1 eilutėje padarykime nulius)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Dabar apskaičiuojame matricos A determinantą išplėtimu išilgai 1 eilutės

Atsakymas: M 31 = 0, detA = 0

Išspręskite Gauso metodu ir Cramerio metodu.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Sprendimas: Patikrinkime

Galite naudoti Cramerio metodą

Sistemos sprendimas: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Taikome Gauso metodą.

Išplėstinę sistemos matricą sumažiname iki trikampės formos.

Skaičiavimų patogumui sukeičiame eilutes:

2-ąją eilutę padauginkite iš (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ir prie 3 pridėkite:

	1 / 2		7 / 2

1-ąją eilutę padauginkite iš (k = -2 / 2 = -1 ) ir prie antrojo pridėkite:

Dabar pradinę sistemą galima parašyti taip:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Iš 2 eilutės išreiškiame

Iš 1 eilutės išreiškiame

Sprendimas yra tas pats.

Atsakymas: (2; -5; 3)

Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Sprendimas: taikykite Gauso metodą. Išplėstinę sistemos matricą sumažiname iki trikampės formos.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Padauginkite 1 eilutę iš (-11). 2-ąją eilutę padauginkite iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

	-2		-2	-3

2-ąją eilutę padauginkite iš (-5). Padauginkite 3 eilutę iš (11). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:

Padauginkite 3 eilutę iš (-7). Padauginkite 4 eilutę iš (5). 4-ą eilutę pridėkime prie 3-osios:

Antroji lygtis yra tiesinė likusiųjų dalių kombinacija

Raskite matricos rangą.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Pasirinktas minoras turi aukščiausią eilę (iš visų galimų mažųjų) ir yra ne nulis (ji yra lygi elementų sandaugai, esanti reciprokinėje įstrižainėje), vadinasi, rangas (A) = 2.

Šis nepilnametis yra pagrindinis. Tai apima koeficientus nežinomiems x 1, x 2, o tai reiškia, kad nežinomi x 1, x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3, x 4, x 5 yra laisvi.

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi tokią formą:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Nežinomų pašalinimo metodu randame bendras sprendimas:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Randame pagrindinę sprendinių sistemą (FSR), kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pamatinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.

Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilučių elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.

Pakanka pateikti laisviesiems nežinomiesiems x 3 ,x 4 ,x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto eilučių, besiskiriančių nuo nulio, ir apskaičiuoti x 1 ,x 2 .

Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.

Bet čia patogiau imti

Mes randame naudodami bendrą sprendimą:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

aš FSR sprendimas: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR sprendimas: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR sprendimas: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)

6. Duota: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Raskite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Sprendimas: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Atsakymas: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i