Naudojant lygiagretainio taisyklę, nustatomi vektoriai. Vektorių pridėjimo taisyklės. Taškiniai ir vektoriniai produktai

Jėgų pridėjimas atliekamas naudojant vektoriaus sudėjimo taisyklę. Arba vadinamoji lygiagretainio taisyklė. Kadangi jėga pavaizduota kaip vektorius, tai yra atkarpa, kurios ilgis parodo jėgos skaitinę reikšmę, o kryptis – jėgos kryptį. Tai yra, jėgos, tai yra, vektoriai, pridedami naudojant geometrinę vektorių sumavimą.

Kita vertus, jėgų pridėjimas yra kelių jėgų rezultatas. Tai yra, kai kūną veikia kelios skirtingos jėgos. Skirtingi tiek dydžiu, tiek kryptimi. Būtina rasti susidariusią jėgą, kuri veiks visą kūną. Tokiu atveju jėgos gali būti sumuojamos poromis, naudojant lygiagretainio taisyklę. Pirma, pridėkite dvi jėgas. Prie jų rezultato pridedame dar vieną. Ir taip toliau, kol visos jėgos bus sujungtos.

1 pav. Lygiagretainės taisyklė.

Lygiagretainio taisyklę galima apibūdinti taip. Dviem jėgoms, išeinančioms iš to paties taško ir kurių kampas tarp jų skiriasi nuo nulio arba 180 laipsnių. Galite sukurti lygiagretainį. Perkeliant vieno vektoriaus pradžią į kito vektoriaus pabaigą. Šio lygiagretainio įstrižainė bus šių jėgų rezultatas.

Bet taip pat galite naudoti jėgos daugiakampio taisyklę. Tokiu atveju pasirenkamas pradžios taškas. Iš šio taško išeina pirmasis kūną veikiančios jėgos vektorius, tada prie jo galo pridedamas kitas vektorius, naudojant lygiagrečiojo perdavimo metodą. Ir taip toliau, kol gaunamas jėgų daugiakampis. Galų gale visų jėgų rezultatas tokioje sistemoje bus vektorius, nubrėžtas nuo pradžios taško iki paskutinio vektoriaus pabaigos.

2 paveikslas – jėgų daugiakampis.

Jei kūnas juda veikiamas kelių jėgų, veikiančių skirtingus kūno taškus. Galime daryti prielaidą, kad jis juda veikiamas atstojamosios jėgos, veikiančios tam tikro kūno masės centrą.

Kartu su jėgų pridėjimu, siekiant supaprastinti judesio skaičiavimus, taip pat naudojamas jėgų skaidymo metodas. Kaip rodo pavadinimas, metodo esmė yra ta, kad viena kūną veikianti jėga išskaidoma į komponentines jėgas. Šiuo atveju jėgos komponentai turi tokį patį poveikį kūnui kaip ir pradinė jėga.

Jėgų išplėtimas taip pat atliekamas pagal lygiagretainio taisyklę. Jie turi būti iš to paties taško. Iš to paties taško, iš kurio atsiranda irimo jėga. Paprastai išskaidyta jėga pateikiama projekcijų pavidalu į statmenas ašis. Pavyzdžiui, kaip gravitacijos jėga ir trinties jėga, veikianti strypą, gulintį nuožulnioje plokštumoje.

3 paveikslas – strypas nuožulnioje plokštumoje.

Vektorius- nukreipta tiesės atkarpa, tai yra atkarpa, kuriai nurodyta, kuris iš jos ribinių taškų yra pradžia, o kuris pabaiga.

Vektorius su pradžios tašku A (\displaystyle A) ir baigiasi taške B (\displaystyle B) paprastai vadinamas . Vektorius taip pat galima žymėti mažomis lotyniškomis raidėmis su rodykle (kartais brūkšneliu) virš jų, pavyzdžiui, . Kitas įprastas žymėjimas yra vektoriaus simbolio paryškinimas: a (\displaystyle \mathbf (a) ).

Vektorius geometrijoje natūraliai siejamas su perkėlimu (lygiagrečiu perdavimu), o tai akivaizdžiai paaiškina jo pavadinimo kilmę (lot. vektorius, vežėjas). Taigi, kiekvienas nukreiptas segmentas vienareikšmiškai apibrėžia tam tikrą lygiagrečią plokštumos ar erdvės vertimą: tarkime, vektorių A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) natūraliai apibrėžia vertimą, pagal kurį taškas A (\displaystyle A) eis prie reikalo B (\displaystyle B), taip pat ir atvirkščiai, lygiagretus perkėlimas, kuriame A (\displaystyle A) eina į B (\displaystyle B), apibrėžia vieną nukreiptą segmentą A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(vienintelis - jei laikysime vienodais visas tos pačios krypties nukreiptas atkarpas ir - tai yra, laikysime jas; iš tiesų, lygiagrečiai perkeliant, visi taškai pasislenka ta pačia kryptimi tuo pačiu atstumu, taigi šia prasme A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overrightrow (A_(3)B_(3)))=\taškai )).

Vektoriaus interpretavimas kaip perkėlimas leidžia įvesti operaciją natūraliai ir intuityviai akivaizdžiai - kaip dviejų (ar kelių) perkėlimų kompoziciją (nuoseklų taikymą); tas pats pasakytina ir apie vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operaciją.

Pagrindinės sąvokos

Vektorius yra nukreipta atkarpa, sudaryta iš dviejų taškų, kurių vienas laikomas pradžia, o kitas – pabaiga.

Vektoriaus koordinatės apibrėžiamos kaip skirtumas tarp jo pradžios ir pabaigos taškų koordinačių. Pavyzdžiui, koordinačių plokštumoje, atsižvelgiant į pradžios ir pabaigos koordinates: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1))) ir T 2 = (x 2, y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), tada vektoriaus koordinatės bus: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1, y 2 − y 1) (\displaystyle (\ir dešinėn (V)) = T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (vienas))).

Vektoriaus ilgis V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) vadinamas atstumu tarp dviejų taškų T 1 (\displaystyle T_(1)) ir T 2 (\displaystyle T_(2)), paprastai jis žymimas | V → | = | T2 − T1 | = | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) | = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\rodyklė virš dešinės (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)- x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2))))

Nulio vaidmenį tarp vektorių atlieka nulinis vektorius, kurio pradžia ir pabaiga sutampa T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1) = T_(2)); jam, skirtingai nei kitiems vektoriams, nėra priskirta jokia kryptis.

Vektorių koordinatiniam vaizdavimui sąvoka vektorinės projekcijos ašyje(nukreipta tiesi linija, žr. pav.). Projekcija yra atkarpos, sudarytos iš vektoriaus pradžios ir pabaigos taškų projekcijų tam tikroje tiesėje, ilgis, o projekcijai priskiriamas pliuso ženklas, jei projekcijos kryptis atitinka ašies kryptį , kitu atveju – minuso ženklas. Projekcija lygi pradinio vektoriaus ilgiui, padaugintam iš kampo tarp pradinio vektoriaus ir ašies kosinuso; vektoriaus projekcija į jam statmeną ašį lygi nuliui.

Programos

Vektoriai plačiai naudojami geometrijoje ir taikomuosiuose moksluose, kur jie naudojami dydžiams, turintiems kryptį (jėgų, greičių ir kt.), atvaizduoti. Vektorių naudojimas supaprastina daugybę operacijų – pavyzdžiui, nustatomi kampai tarp tiesių ar atkarpų, apskaičiuojami figūrų plotai. Kompiuterinėje grafikoje normalūs vektoriai naudojami norint sukurti tinkamą kūno apšvietimą. Vektorių naudojimas gali būti koordinačių metodo pagrindas.

Vektorių rūšys

Kartais, užuot laikę aibę vektoriais visi nukreiptus segmentus (laikant skirtingais visus nukreiptus segmentus, kurių pradžia ir pabaiga nesutampa), paimkite tik tam tikrą šios aibės modifikaciją (faktorių aibę), tai yra, kai kurios nukreiptos atkarpos laikomos lygiomis, jei jų kryptis ir ilgis yra vienodos, nors gali turėti skirtingą pradžią (ir pabaigą), t. y. laikomi to paties ilgio ir krypties nukreipti segmentai, atstovaujantys tą patį vektorių; taigi, kiekvienas vektorius atitinka visą klasę nukreiptų atkarpų, identiškų ilgio ir krypties, bet skiriasi pradžia (ir pabaiga).

Taip, jie kalba apie "Laisvas", "slysta" ir „fiksuoti“ vektoriai. Šie tipai skiriasi dviejų vektorių lygybės samprata.

• Kalbant apie laisvuosius vektorius, identifikuojami visi vektoriai, kurių kryptis ir ilgis yra vienodi;
• Kalbėdami apie slenkančius vektorius, jie priduria, kad vienodų slenkančių vektorių pradžios turi sutapti arba būti toje pačioje tiesėje, kurioje yra nukreiptos atkarpos, vaizduojančios šiuos vektorius (kad vieną būtų galima sujungti su kitu poslinkiu ta kryptimi, kurią jis pats nustato) ;
• kalbėdami apie fiksuotus vektorius, jie sako, kad lygiais laikomi tik tie vektoriai, kurių kryptis ir pradžia yra vienoda (tai yra, šiuo atveju nėra faktorizavimo: nėra dviejų fiksuotų vektorių su skirtingomis kilmėmis, kurie būtų laikomi lygiais).

Formaliai:

Jie taip sako laisvi vektoriai A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) ir yra lygūs, jei yra taškų E (\displaystyle E) ir F (\displaystyle F) tokie kad keturkampiai A B F E (\displaystyle ABFE) ir C D F E (\displaystyle CDFE)- lygiagretainiai.

Jie taip sako slenkantys vektoriai A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) ir C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) yra lygūs, jei

Slenkantys vektoriai ypač naudingi mechanikoje. Paprasčiausias slydimo vektoriaus pavyzdys mechanikoje yra jėga, veikianti standųjį kūną. Jėgos vektoriaus pradžios perkėlimas išilgai tiesės, ant kurios jis yra, nekeičia jėgos momento jokiame taške; perkeliant jį į kitą tiesią, net jei nekeičiate vektoriaus dydžio ir krypties, gali pasikeisti jo momentas (netgi beveik visada): todėl skaičiuojant momentą, negalite jėgos laikyti laisva vektorius, tai yra, jūs negalite laikyti jo pritaikyto savavališkam kietojo kūno taškui.

Jie taip sako fiksuoti vektoriai A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) ir C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) yra lygūs, jei taškai sutampa poromis A (\displaystyle A) ir C (\displaystyle C), B (\displaystyle B) ir D (\displaystyle D).

Vienu atveju nukreiptas segmentas vadinamas vektoriumi, o kitais atvejais skirtingi vektoriai yra skirtingos nukreiptų segmentų ekvivalentiškumo klasės, nulemtos tam tikro specifinio ekvivalentiškumo ryšio. Be to, lygiavertiškumo santykis gali būti skirtingas, nulemdamas vektoriaus tipą („laisvas“, „fiksuotas“ ir pan.). Paprasčiau tariant, lygiavertiškumo klasėje visi nukreipti segmentai joje laikomi visiškai lygiais ir kiekvienas gali vienodai atstovauti visai klasei.

Visos operacijos su vektoriais (sudėtis, daugyba iš skaičiaus, skaliarinės ir vektorinės sandaugos, modulio arba ilgio, kampo tarp vektorių apskaičiavimas ir kt.) iš esmės apibrėžiamos vienodai visų tipų vektoriams, tipų skirtumas sumažinamas tai tik judantiems ir fiksuotiems vektoriams taikomas apribojimas galimybei atlikti operacijas tarp dviejų vektorių, turinčių skirtingą kilmę (pavyzdžiui, dviejų fiksuotų vektorių pridėjimas yra draudžiamas arba beprasmis, jei jų kilmė skiriasi; tačiau , visais atvejais, kai ši operacija leidžiama – arba turi reikšmę – yra tokia pati kaip ir laisviesiems vektoriams). Todėl dažnai vektoriaus tipas nėra aiškiai nurodytas, daroma prielaida, kad tai akivaizdu iš konteksto. Be to, tas pats vektorius, priklausomai nuo problemos konteksto, gali būti laikomas fiksuotu, slankiojančiu arba laisvu, pavyzdžiui, mechanikoje kūnui taikomų jėgų vektoriai gali būti sumuojami, neatsižvelgiant į taikymo tašką, randant gaunami tiriant masės centro judėjimą, impulso pokyčius ir pan.), tačiau negali būti sudėti vienas prie kito, neatsižvelgiant į taikymo taškus skaičiuojant sukimo momentą (taip pat statikoje ir dinamikoje).

Ryšiai tarp vektorių

Koordinatės atstovavimas

Dirbant su vektoriais dažnai įvedama tam tikra Dekarto koordinačių sistema ir joje nustatomos vektoriaus koordinatės, išskaidant ją į bazinius vektorius. Pagrindo išplėtimas gali būti pavaizduotas geometriškai naudojant vektoriaus projekcijas į koordinačių ašis. Jei žinomos vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinatės, paties vektoriaus koordinatės gaunamos iš vektoriaus pabaigos koordinačių atėmus jo pradžios koordinates.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x − A x , B y − A y , B z − A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Pagrindui dažnai pasirenkami koordinačių vektoriai, žymimi i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), pagal ašis x , y , z (\displaystyle x,y,z). Tada vektorius a → (\displaystyle (\vec (a))) gali būti parašytas kaip

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec(k)))

Bet kurią geometrinę savybę galima parašyti koordinatėmis, po kurios tyrimas iš geometrijos tampa algebriniu ir tuo pačiu dažnai supaprastinamas. Priešingai, paprastai kalbant, nėra visiškai tiesa: paprastai įprasta sakyti, kad tik tie santykiai, kurie galioja bet kurioje Dekarto koordinačių sistemoje, turi „geometrinį aiškinimą“ ( nekintamas).

Veiksmai su vektoriais

Vektoriaus modulis

Vektorinis modulis A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) vadinamas skaičiumi, lygiu atkarpos ilgiui A B (\displaystyle AB). Paskirtas kaip | A B → | (\displaystyle |(\ir dešinėn rodyklė (AB))|). Kalbant apie koordinates, jis apskaičiuojamas taip:

| a → | = a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2))))

Vektorių papildymas

Koordinačių vaizde sumos vektorius gaunamas susumavus atitinkamas terminų koordinates:

a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z)))

Sumos vektoriaus geometrinei konstrukcijai c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) naudoti skirtingas taisykles (metodus), bet visi jie duoda tą patį rezultatą. Šios ar kitos taisyklės naudojimas pateisinamas sprendžiama problema.

trikampio taisyklė

Trikampio taisyklė natūraliausiai išplaukia iš vektoriaus supratimo kaip vertimo. Akivaizdu, kad tai yra dviejų paeiliui pritaikytų perkėlimų rezultatas a → (\displaystyle (\vec (a))) ir tam tikras taškas bus tas pats, kaip iš karto taikyti vieną pervedimą, atitinkantį šią taisyklę. Norėdami pridėti du vektorius a → (\displaystyle (\vec (a))) ir b → (\displaystyle (\vec (b))) pagal trikampio taisyklę abu šie vektoriai perkeliami lygiagrečiai sau taip, kad vieno iš jų pradžia sutampa su kito pabaiga. Tada sumos vektorius pateikiama suformuoto trikampio trečioji kraštinė, o jo pradžia sutampa su pirmojo vektoriaus pradžia, o pabaiga su antrojo vektoriaus pabaiga.

Ši taisyklė yra tiesiogiai ir natūraliai apibendrinta pridedant bet kokį vektorių skaičių, paverčiant laužytos linijos taisyklė:

trijų taškų taisyklė

Jei segmentas A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) vaizduoja vektorių a → (\displaystyle (\vec (a))) ir segmentą B C → (\displaystyle (\overrightarrow (BC))) vaizduoja vektorių b → (\displaystyle (\vec (b))), tada segmentas A C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))) vaizduoja vektorių a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

daugiakampio taisyklė

Antrojo vektoriaus pradžia sutampa su pirmojo pabaiga, trečio pradžia - su antrojo pabaiga ir tt, suma n (\displaystyle n) vektorių yra vektorius, kurio pradžia sutampa su pirmojo pradžia, o pabaiga sutampa su pabaiga n (\displaystyle n)-th (tai yra, jis pavaizduotas nukreiptu segmentu, kuris uždaro trūkinę liniją). Taip pat vadinama laužytos linijos taisykle.

lygiagretainio taisyklė

Norėdami pridėti du vektorius a → (\displaystyle (\vec (a))) ir b → (\displaystyle (\vec (b))) Pagal lygiagretainio taisyklę abu šie vektoriai perkeliami lygiagrečiai sau taip, kad jų ištakos sutampa. Tada sumos vektorius pateikiamas ant jų pastatyto lygiagretainio įstrižainės, kylančios iš jų bendros pradžios. (Naudojant trikampio taisyklę nesunku pastebėti, kad ši įstrižainė yra tokia pati kaip trečioji trikampio kraštinė).

Lygiagretainio taisyklė yra ypač patogi, kai reikia pavaizduoti sumos vektorių, iš karto prijungtą prie to paties taško, prie kurio yra prijungti abu terminai, tai yra, pavaizduoti visus tris vektorius, turinčius bendrą pradžią.

Vektorinės sumos modulis

Dviejų vektorių sumos modulis Galima apskaičiuoti naudojant kosinuso teoremą:

| a → + b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|( \vec (b))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b))) ), kur a → (\displaystyle (\vec (a))) ir b → (\displaystyle (\vec (b))).

Jei vektoriai nubrėžti pagal trikampio taisyklę ir kampas imamas pagal paveikslą - tarp trikampio kraštinių - kuris nesutampa su įprastu kampo tarp vektorių apibrėžimu, taigi ir su kampu aukščiau pateiktą formulę, tada paskutinis narys įgyja minuso ženklą, kuris atitinka kosinuso teoremą jos tiesiogine formuluote.

Savavališko skaičiaus vektorių sumai taikoma panaši formulė, kurioje yra daugiau terminų su kosinusu: kiekvienai sumuojamos aibės vektorių porai yra vienas toks terminas. Pavyzdžiui, trijų vektorių formulė atrodo taip:

| a → + b → + c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 + | c → | 2 + 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) + 2 | a → | | c → | cos ⁡ (a → , c →) + 2 | b → | | c → | cos ⁡ (b → , c →) . (\displaystyle |(\vec (a))+(\vec (b))+(\vec (c))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+|(\ vec (b))|^(2)+|(\vec (c))|^(2)+2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec) (a)),(\vec (b)))+2|(\vec (a))||(\vec (c))|\cos((\vec (a)),(\vec (c) ))+2|(\vec (b))||(\vec (c))|\cos((\vec (b)),(\vec (c))).)

Vektorinė atimtis

Du vektoriai a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b))) ir jų skirtumo vektorius

Norėdami gauti koordinačių formos skirtumą, atimkite atitinkamas vektorių koordinates:

a → − b → = (a x − b x , a y − b y , a z − b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Norėdami gauti skirtumo vektorių c → = a → − b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) vektorių pradžios yra sujungtos ir vektoriaus pradžia c → (\displaystyle (\vec (c))) bus pabaiga b → (\displaystyle (\vec (b))), ir pabaiga yra pabaiga a → (\displaystyle (\vec (a))). Jei parašyta naudojant vektorių taškus, tada A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Vektorių skirtumo modulis

Trys vektoriai a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), be to, sudaro trikampį, o skirtumo modulio išraiška yra panaši:

| a → − b → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 – 2 | a → | | b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ))

kur cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))- kampo tarp vektorių kosinusas a → (\displaystyle (\vec (a))) ir b → . (\displaystyle(\vec(b)).)

Skirtumas nuo sumos modulio formulės ženkle prieš kosinusą, tuo tarpu būtina atidžiai stebėti, kuris kampas yra paimtas (sumos modulio formulės variantas su kampu tarp trikampio kraštinių, kai sumuojama pagal trikampio taisyklė, išvaizda nesiskiria nuo šios skirtumo modulio formulės, tačiau reikia turėti omenyje, kad čia imami skirtingi kampai: sumos atveju kampas imamas tada, kai vektorius b → (\displaystyle (\vec (b))) apvynioja iki vektoriaus pabaigos a → (\displaystyle (\vec (a))), ieškant skirtumo modulio, imamas kampas tarp vektorių, pritvirtintų prie vieno taško; sumos modulio išraiška naudojant tą patį kampą kaip ir šioje skirtumo modulio išraiškoje, skiriasi ženklu prieš kosinusą).

Skaliarinis yra fizikinis dydis, turintis tik vieną charakteristiką – skaitinę reikšmę.

Skaliarinė vertė gali būti teigiama arba neigiama.

Skaliarinių dydžių pavyzdžiai: temperatūra, masė, tūris, laikas, tankis. Matematiniai veiksmai su skaliariniais dydžiais yra algebrinės operacijos.

Vektoriaus kiekis yra fizinis dydis, turintis dvi charakteristikas:

1) skaitinė reikšmė, kuri visada yra teigiama (vektoriaus modulis);

Vektorių fizikinių dydžių pavyzdžiai: greitis, pagreitis, jėga.

Vektoriaus reikšmė žymima lotyniška raide ir rodykle virš šios raidės. Pavyzdžiui:

Vektoriaus modulis žymimas taip:

arba - vektoriaus modulis ,

arba - vektoriaus modulis ,

arba - vektoriaus modulis ,

Paveiksle (grafiškai) vektorius pavaizduotas nukreipta tiesės atkarpa. Vektoriaus modulis lygus nukreiptos atkarpos ilgiui duotoje skalėje.

2.2. Veiksmai su vektoriais

Matematiniai veiksmai su vektoriniais dydžiais yra geometrinės operacijos.

2.2.1 Vektorių palyginimas

Lygi vektoriai. Du vektoriai yra lygūs, jei jie turi:

vienodi moduliai,

tomis pačiomis kryptimis.

Priešingi vektoriai. Du vektoriai yra priešingi, jei jie turi:

vienodi moduliai,

priešingomis kryptimis.

2.2.2 Vektoriaus pridėjimas

Geometriškai galime pridėti du vektorius, naudodami lygiagretainio ir trikampio taisyklę.

Tegu pateikti du vektorius ir (žr. pav.). Raskite šių vektorių sumą +=. Kiekiai ir yra komponentiniai vektoriai, vektorius yra gautas vektorius.

Lygiagretainė taisyklė, skirta pridėti du vektorius:

1. Nubrėžkime vektorių .

2. Nubraižykite vektorių kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pradžia ; kampas tarp vektorių yra (žr. paveikslėlį).

3. Per vektoriaus galą .

4. Per vektoriaus galą nubrėžkite tiesę, lygiagrečią vektoriui .

Sukūrėme lygiagretainį. Šio lygiagretainio kraštinės yra sudedamieji vektoriai ir .

5. Iš bendro vektoriaus pradžios taško nubrėžkime lygiagretainio įstrižainę ir vektoriaus pradžia .

6. Gauto vektoriaus modulis lygus lygiagretainio įstrižainės ilgiui ir nustatomas pagal formulę:

vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pradžia ir vektoriaus pradžia (vektoriaus kryptis parodyta paveikslėlyje).

Trikampio taisyklė, skirta pridėti du vektorius:

1. Nubraižykite komponentų vektorius ir kad vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga . Šiuo atveju kampas tarp vektorių yra lygus .

2. Gautas vektorius nukreiptas taip, kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus pradžia , o galas sutampa su vektoriaus pabaiga .

3. Gauto vektoriaus modulis randamas pagal formulę:

2.2.3 Vektorinė atimtis

Vektorinė atimtis yra atvirkštinė sudėjimo vertė:

Raskite vektoriaus skirtumą ir vektorius yra tas pats, kas rasti vektoriaus sumą ir vektorius
, priešingai nei vektorius . Skirtumo vektorių galime rasti geometriškai naudodami lygiagretainio taisyklę arba trikampio taisyklę (žr. pav.).

lygiagretainio taisyklė.

Lygiagrečios kraštinės – vektorius ir vektorius - ; lygiagretainio įstrižainė – skirtumo vektorius
.

Trikampio taisyklė.

Skirtumo vektorius jungia vektoriaus galą ir vektoriaus pabaiga (vektoriaus pradžia sutampa su vektoriaus pabaiga ).

2.2.4 Vektoriaus padauginimas iš skaliro

Tegul vektorius ir skalaras. Raskime vektoriaus sandaugą ir skaliarinis vektorius n.

Padauginę vektorių iš skaliro, gauname naują vektorių :

vektoriaus kryptis tokia pati kaip vektoriaus kryptis adresu
.

vektoriaus kryptis priešinga vektoriaus krypčiai adresu
.

Vektoriaus modulis n kartų didesnis už vektoriaus modulį , jei
.

2.3. Taškiniai ir vektoriniai produktai

2.3.1 Taškinis produktas

Iš dviejų vektorių ir skaliarą galima sudaryti pagal taisyklę:

Ši išraiška vadinama vektorių skaliarine sandauga ir
, arba
.

Vadinasi, . =
.

Pagal apibrėžimą taškinis produktas turi šias savybes:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Kryžminis produktas

Iš dviejų vektorių
ir
galite sukurti naują vektorių:

, kur

Naujo gauto vektoriaus modulis randamas pagal formulę:

.

Ši operacija vadinama vektorių kryžmine sandauga ir ir žymimas vienu iš simbolių
arba
.

Taip pat gerai žinoma formulė

,

kur - kampas tarp vektorių ir .

vektoriaus kryptis galima rasti naudojant šį metodą. Mes mintyse sujungiame išilginę antgalio ašį (dešinysis varžtas, kamščiatraukis) su statmena plokštumai, kurioje yra padauginti vektoriai (šiame pavyzdyje vektoriai ir ). Tada pradedame sukti varžto galvutę (kamščiatraukio rankenėlę) trumpiausio posūkio kryptimi nuo pirmojo faktoriaus iki antrojo, tai yra nuo vektoriaus. į vektorių . Sraigto korpuso judėjimo kryptis bus vektoriaus kryptis . Šis požiūris vadinamas dešiniojo sraigto taisykle arba sriegio taisykle (žr. pav.).

Vektorine sandauga išreiškiamas jėgos momentas, impulso momentas ir t.t.Kalbėdami apie vektorių, visada turime omenyje jo komponentus. Vektorius, skirtingai nei skaliaras, apibrėžiamas trimis skaičiais. Todėl tokios operacijos kaip sudėjimas, atimtis, skaliarinės ir vektorinės sandaugos sumažinamos iki įprastų veiksmų su komponentais.

Norint atlikti vektorių sudėjimo operaciją, yra keletas būdų, kurie, atsižvelgiant į situaciją ir nagrinėjamų vektorių tipą, gali būti patogesni. Pažvelkime į vektorių pridėjimo taisykles:

trikampio taisyklė

Trikampio taisyklė yra tokia: norint pridėti du vektorius x, y, reikia sukonstruoti vektorių x taip, kad jo pradžia sutaptų su vektoriaus y pabaiga. Tada jų suma bus vektoriaus z reikšmė, o vektoriaus z pradžia sutaps su vektoriaus x pradžia, o pabaiga - su vektoriaus y pabaiga.

Trikampio taisyklė padeda, jei sumuojamų vektorių skaičius yra ne didesnis kaip du.

daugiakampio taisyklė

Daugiakampio taisyklė yra pati paprasčiausia ir patogiausia norint pridėti bet kokį vektorių skaičių plokštumoje arba erdvėje. Taisyklės esmė yra tokia: pridedant vektorius, reikia juos nuosekliai pritvirtinti vieną po kito, kad kito vektoriaus pradžia sutaptų su ankstesnio vektoriaus pabaiga, o vektorius, kuris uždaro gautą kreivę, yra vektorių narių suma. Vizualiai tai rodo lygybę w= x + y + z, kur vektorius w yra nurodytų vektorių suma. Be to, reikia pažymėti, kad suma nekinta pasikeitus vektorių dėmenų vietoms, tai yra (x + y) + z = x + (y + z).

lygiagretainio taisyklė

Lygiagretainio taisyklė naudojama vektoriams, kilusiems iš to paties taško, pridėti. Ši taisyklė sako, kad vektorių x ir y, turinčių pradžią viename taške, suma bus trečiasis vektorius z, taip pat kylantis iš šio taško, o vektoriai x ir y yra lygiagretainio kraštinės, o vektorius z yra jo įstrižainė. Šiuo atveju taip pat nesvarbu, kokia tvarka vektoriai pridedami.

Taigi daugiakampio taisyklė, trikampio taisyklė ir lygiagretainio taisyklė padeda išspręsti absoliučiai bet kokio sudėtingumo vektorių sudėjimo problemas tiek plokštumoje, tiek erdvėje.

Studentams ne visada aišku, kaip pridedami vektoriai. Vaikai neįsivaizduoja, kas už jų slypi. Jūs tiesiog turite išmokti atmintinai taisykles, o ne galvoti apie esmę. Todėl būtent apie vektorinių dydžių sudėties ir atėmimo principus reikia daug žinių.

Pridėjus du ar daugiau vektorių visada gaunamas kitas. Be to, jis visada bus toks pat, nepaisant jo vietos priėmimo.

Dažniausiai mokyklos geometrijos kurse svarstomas dviejų vektorių pridėjimas. Tai galima atlikti pagal trikampio arba lygiagretainio taisyklę. Šie piešiniai atrodo kitaip, bet veiksmo rezultatas yra tas pats.

Kaip sudėjimas atliekamas pagal trikampio taisyklę?

Jis naudojamas, kai vektoriai yra nekolineariniai. Tai yra, jie nėra toje pačioje linijoje ar lygiagrečiai.

Tokiu atveju pirmasis vektorius turi būti atidėtas iš kokio nors savavališko taško. Iš jo galo reikia nubrėžti lygiagrečiai ir lygiagrečiai antrajai. Rezultatas bus vektorius, prasidedantis nuo pirmojo pradžios ir pasibaigiantis antrojo pabaigoje. Piešinys atrodo kaip trikampis. Iš čia ir kilo taisyklės pavadinimas.

Jei vektoriai yra kolineariniai, tada ši taisyklė taip pat gali būti taikoma. Tik piešinys bus išdėstytas vienoje eilutėje.

Kaip atliekamas lygiagretainio sudėjimas?

Ir vėl? taikoma tik nekolineariniams vektoriams. Statyba atliekama pagal kitokį principą. Nors pradžia ta pati. Turime atidėti pirmąjį vektorių. Ir nuo pat pradžių – antrasis. Remdamiesi jais užpildykite lygiagretainį ir nubrėžkite įstrižainę nuo abiejų vektorių pradžios. Ji bus rezultatas. Taip vektoriai pridedami pagal lygiagretainio taisyklę.

Iki šiol buvo du. Bet ką daryti, jei jų yra 3 ar 10? Naudokite šį triuką.

Kaip ir kada taikoma daugiakampio taisyklė?

Jei reikia pridėti vektorių, kurių skaičius yra didesnis nei du, neturėtumėte bijoti. Pakanka juos visus iš eilės atidėti ir grandinės pradžią prijungti prie jos galo. Šis vektorius bus norima suma.

Kokios savybės galioja operacijoms su vektoriais?

Apie nulinį vektorių. Kuris teigia, kad pridėjus prie jo gaunamas originalus.

Apie priešingą vektorių. Tai yra, apie tą, kuris turi priešingą kryptį ir vienodą absoliučia verte. Jų suma bus lygi nuliui.

Dėl sudėjimo komutatyvumo. Kažkas, kas žinoma nuo pradinės mokyklos laikų. Sąlygų vietų pakeitimas nekeičia rezultato. Kitaip tariant, nesvarbu, kurį vektorių atidėti pirmiausia. Atsakymas vis tiek bus teisingas ir unikalus.

Apie papildymo asociatyvumą.Šis dėsnis leidžia poromis sudėti bet kokius vektorius iš trigubo ir pridėti prie jų trečdalį. Jei tai rašome naudodami simbolius, gausime:

pirmas + (antras + trečias) = ​​antras + (pirmas + trečias) = ​​trečias + (pirmas + antras).

Kas žinoma apie vektorių skirtumą?

Atskiros atimties operacijos nėra. Taip yra dėl to, kad tai iš tikrųjų yra papildymas. Tik antrajam iš jų suteikiama priešinga kryptis. Ir tada viskas daroma taip, lyg būtų svarstomas vektorių pridėjimas. Todėl jie praktiškai nekalba apie savo skirtumą.

Siekiant supaprastinti darbą su jų atėmimu, trikampio taisyklė buvo modifikuota. Dabar (atimant) antrasis vektorius turi būti atidėtas nuo pirmojo pradžios. Atsakymas bus tas, kuris sujungs minuendo galinį tašką. Nors galima atidėti, kaip aprašyta anksčiau, tiesiog pakeitus antrojo kryptį.

Kaip rasti vektorių sumą ir skirtumą koordinatėse?

Užduotyje pateikiamos vektorių koordinatės ir reikia išsiaiškinti jų reikšmes galutinei. Tokiu atveju konstrukcijų atlikti nereikia. Tai yra, galite naudoti paprastas formules, apibūdinančias vektorių pridėjimo taisyklę. Jie atrodo taip:

a(x, y, z) + b(k, l, m) = c(x+k, y+l, z+m);

a (x, y, z) -in (k, l, m) \u003d c (x-k, y-l, z-m).

Nesunku suprasti, kad koordinates tereikia pridėti arba atimti, priklausomai nuo konkrečios užduoties.

Pirmasis pavyzdys su sprendimu

Būklė. Duotas stačiakampis ABCD. Jo kraštinės 6 ir 8 cm Įstrižainių susikirtimo taškas pažymėtas raide O. Reikia apskaičiuoti skirtumą tarp vektorių AO ir VO.

Sprendimas. Pirmiausia turite nubrėžti šiuos vektorius. Jie nukreipti iš stačiakampio viršūnių į įstrižainių susikirtimo tašką.

Jei atidžiai pažvelgsite į piešinį, pamatysite, kad vektoriai jau yra sulygiuoti taip, kad antrasis iš jų liečiasi su pirmojo galais. Tiesiog jo kryptis neteisinga. Tai turi prasidėti nuo šio taško. Taip yra, jei vektoriai pridedami, o uždavinyje - atimtis. Sustabdyti. Šis veiksmas reiškia, kad reikia pridėti priešingą vektorių. Taigi, VO turi būti pakeistas OB. Ir pasirodo, kad iš trikampio taisyklės du vektoriai jau suformavo kraštinių porą. Todėl jų pridėjimo rezultatas, tai yra norimas skirtumas, yra vektorius AB.

Ir jis sutampa su stačiakampio kraštine. Norėdami įrašyti skaitinį atsakymą, jums reikės šių dalykų. Nubrėžkite stačiakampį išilgai, kad ilgiausia kraštinė būtų horizontali. Viršūnių numeravimas prasideda nuo apatinio kairiojo krašto ir eina prieš laikrodžio rodyklę. Tada vektoriaus AB ilgis bus lygus 8 cm.

Atsakymas. Skirtumas tarp AO ir VO yra 8 cm.

Antrasis pavyzdys ir jo išsamus sprendimas

Būklė. Rombo ABCD įstrižainės yra 12 ir 16 cm. Jų susikirtimo taškas pažymėtas raide O. Apskaičiuokite vektoriaus ilgį, susidarantį iš vektorių AO ir BO skirtumo.

Sprendimas. Tegul rombo viršūnių žymėjimas yra toks pat, kaip ir ankstesniame uždavinyje. Panašiai kaip ir pirmojo pavyzdžio sprendimas, paaiškėja, kad norimas skirtumas yra lygus vektoriui AB. Ir jo ilgis nežinomas. Uždavinio sprendimas buvo sumažintas iki vienos iš rombo kraštinių apskaičiavimo.

Šiuo tikslu reikia atsižvelgti į trikampį ABO. Jis yra stačiakampis, nes rombo įstrižainės susikerta 90 laipsnių kampu. Ir jo kojos yra lygios pusei įstrižainių. Tai yra 6 ir 8 cm.. Uždavinyje ieškoma kraštinė sutampa su šio trikampio hipotenuze.

Norėdami jį rasti, jums reikia Pitagoro teoremos. Hipotenuzės kvadratas bus lygus skaičių 6 2 ir 8 2 sumai. Padalinus kvadratu, gaunamos reikšmės: 36 ir 64. Jų suma lygi 100. Iš to išplaukia, kad hipotenuzė yra 10 cm.

Atsakymas. Skirtumas tarp vektorių AO ir VO yra 10 cm.

Trečias pavyzdys su išsamiu sprendimu

Būklė. Apskaičiuokite dviejų vektorių skirtumą ir sumą. Jų koordinatės žinomos: pirmasis turi 1 ir 2, antrasis - 4 ir 8.

Sprendimas. Norėdami rasti sumą, turite poromis sudėti pirmąją ir antrąją koordinates. Rezultatas bus skaičiai 5 ir 10. Atsakymas bus vektorius su koordinatėmis (5; 10).

Dėl skirtumo reikia atimti koordinates. Atlikus šį veiksmą bus gauti skaičiai -3 ir -6. Jos bus norimo vektoriaus koordinatės.

Atsakymas. Vektorių suma yra (5; 10), jų skirtumas yra (-3; -6).

Ketvirtas pavyzdys

Būklė. Vektoriaus AB ilgis 6 cm, BC - 8 cm Antrasis atidėtas nuo pirmojo galo 90 laipsnių kampu. Apskaičiuokite: a) vektorių BA ir BC modulių skirtumą ir skirtumo tarp BA ir BC modulį; b) tų pačių modulių suma ir sumos modulis.

Sprendimas: a) Uždavinyje jau pateikti vektorių ilgiai. Todėl nesunku apskaičiuoti jų skirtumą. 6 - 8 = -2. Situacija su skirtumo moduliu yra šiek tiek sudėtingesnė. Pirmiausia turite išsiaiškinti, kuris vektorius bus atimties rezultatas. Tam reikia atidėti vektorių BA, kuris nukreiptas priešinga AB kryptimi. Tada nubrėžkite vektorių BC nuo jo galo, nukreipdami jį priešinga kryptimi nei pradinis. Atimties rezultatas yra CA vektorius. Jo modulis gali būti apskaičiuojamas naudojant Pitagoro teoremą. Paprasti skaičiavimai leidžia gauti 10 cm vertę.

b) Vektorių modulių suma lygi 14 cm Norint rasti antrąjį atsakymą, reikia atlikti tam tikrą transformaciją. Vektorius BA yra priešingas duotajam - AB. Abu vektoriai nukreipti iš to paties taško. Šioje situacijoje galite naudoti lygiagretainio taisyklę. Sudėjimo rezultatas bus įstrižainė, o ne tik lygiagretainis, bet ir stačiakampis. Jo įstrižainės yra lygios, o tai reiškia, kad sumos modulis yra toks pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje.

Atsakymas: a) -2 ir 10 cm; b) 14 ir 10 cm.