Laipsnis su neigiamo laipsnio apibrėžimo pavyzdžiais. Kaip pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio – pavyzdžiai su aprašymu programoje Excel

Viename iš ankstesnių straipsnių jau minėjome skaičiaus laipsnį. Šiandien mes bandysime naršyti ieškodami jo prasmės. Kalbant moksliškai, mes išsiaiškinsime, kaip tinkamai koreguoti. Suprasime, kaip šis procesas vyksta, tuo pačiu paliesdami visus įmanomus eksponentus: natūralius, neracionalius, racionalius, visuminius.

Taigi, atidžiau pažvelkime į pavyzdžių sprendimus ir išsiaiškinkime, ką tai reiškia:

1. Sąvokos apibrėžimas.
2. Pakėlimas į neigiamą meną.
3. Visas rezultatas.
4. Skaičiaus padidinimas iki neracionalios galios.

Čia yra apibrėžimas, kuris tiksliai atspindi prasmę: „Padidinimas iki laipsnio yra skaičiaus laipsnio vertės apibrėžimas“.

Atitinkamai, skaičiaus a konstrukcija str. r ir laipsnio a reikšmės su eksponentu r radimo procesas yra tapačios sąvokos. Pavyzdžiui, jei užduotis yra apskaičiuoti laipsnio reikšmę (0,6) 6 ″, tada ją galima supaprastinti iki išraiškos "Pakelkite skaičių 0,6 iki 6 laipsnio".

Po to galite pereiti tiesiai prie statybos taisyklių.

Pakėlimas į neigiamą galią

Siekiant aiškumo, turėtumėte atkreipti dėmesį į šią posakių grandinę:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 minus 2 žingsniais.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 iki minus 4 laipsnių.

Šių pavyzdžių dėka galite aiškiai matyti galimybę akimirksniu apskaičiuoti 10 iki bet kokios neigiamos galios. Šiuo tikslu pakanka tiesiog perkelti dešimtainį komponentą:

• nuo 10 iki -1 laipsnio – prieš vienetą 1 nulis;
• in -3 - trys nuliai prieš vieną;
• -9 yra 9 nuliai ir pan.

Taip pat pagal šią schemą nesunku suprasti, kiek bus 10 minus 5 šaukštai. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kaip padidinti skaičių iki natūralios galios

Prisimindami apibrėžimą, atsižvelgiame į tai, kad natūralusis skaičius a str. n yra lygi n faktorių sandaugai, kurių kiekvienas yra lygus a. Pavaizduokime: (a * a * ... a) n, kur n yra padaugintų skaičių skaičius. Atitinkamai, norint a pakelti į n, reikia apskaičiuoti tokios formos sandaugą: a * a * ... ir padalyti iš n kartų.

Iš čia tampa aišku, kad erekcija gamtos mene. priklauso nuo gebėjimo atlikti dauginimą(ši medžiaga yra pateikta skyriuje apie realiųjų skaičių daugybą). Pažvelkime į problemą:

Pakelkite -2 iki 4 valg.

Mes susiduriame su natūraliu rodikliu. Atitinkamai, sprendimo eiga bus tokia: (-2) str. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dabar belieka atlikti sveikųjų skaičių dauginimą: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Mes gauname 16.

Atsakymas į užduotį:

(-2) str. 4=16.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite reikšmę: trijų taškų dvi septintos kvadratas.

Šis pavyzdys yra lygus šiai sandaugai: trys taškai du septintasis karto trys taškai du septintas. Prisimindami, kaip atliekamas mišrių skaičių dauginimas, užbaigiame konstrukciją:

• 3 ištisos 2 septintos padaugintos iš savęs;
• lygus 23 septintoms dalims iš 23 septintųjų;
• lygus 529 keturiasdešimt devintoms dalims;
• sumažiname ir gauname 10 trisdešimt devynių keturiasdešimt devintųjų.

Atsakymas: 10 39/49

Kalbant apie padidinimo iki neracionalaus rodiklio klausimą, reikia pažymėti, kad skaičiavimai pradedami atlikti baigus preliminarų laipsnio pagrindo apvalinimą iki tam tikro rango, kuris leistų gauti vertę su tam tikru laipsniu. tikslumu. Pavyzdžiui, skaičių P (pi) turime paversti kvadratu.

Pradedame nuo P apvalinimo iki šimtųjų ir gauname:

P kvadratas \u003d (3,14) 2 = 9,8596. Tačiau jei sumažinsime P iki dešimties tūkstančių dalių, gausime P = 3,14159. Tada kvadratas gauna visiškai kitą skaičių: 9.8695877281.

Čia reikia pažymėti, kad daugelyje problemų nereikia neracionalių skaičių kelti į laipsnį. Paprastai atsakymas įvedamas laipsnio forma, pavyzdžiui, 6 šaknis iki 3 laipsnio, arba, jei išraiška leidžia, atliekama jo transformacija: 5 šaknis. iki 7 laipsnių \u003d 125 šaknis iš 5.

Kaip pakelti skaičių iki sveikojo skaičiaus laipsnio

Ši algebrinė manipuliacija yra tinkama atsižvelgti į šiuos atvejus:

• sveikiesiems skaičiams;
• nuliniam indikatoriui;
• teigiamam sveikajam skaičiui.

Kadangi beveik visi teigiami sveikieji skaičiai sutampa su natūraliųjų skaičių mase, teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio nustatymas yra toks pat procesas, kaip ir str. natūralus. Šį procesą aprašėme ankstesnėje pastraipoje.

Dabar pakalbėkime apie str. nulinis. Aukščiau jau išsiaiškinome, kad skaičiaus a nulinė galia gali būti nustatyta bet kokiam nuliui a (tikrajam), o a st. 0 bus lygus 1.

Atitinkamai, bet kurio realaus skaičiaus konstravimas iki nulio menas. duos vieną.

Pavyzdžiui, 10 st.0=1, (-3.65)0=1 ir 0 st. 0 negalima nustatyti.

Norint užbaigti eksponentiškumą iki sveikojo skaičiaus laipsnio, belieka nuspręsti dėl sveikųjų skaičių parinkčių neigiamos reikšmės. Prisimename, kad str. iš a su sveikuoju skaičiumi -z bus apibrėžta kaip trupmena. Trupmenos vardiklyje yra str. su teigiama sveikojo skaičiaus reikšme, kurios reikšmę jau išmokome rasti. Dabar belieka tik apsvarstyti statybos pavyzdį.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite skaičiaus 2 kubą su neigiamu sveikuoju skaičiumi reikšmę.

Sprendimo procesas:

Pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu rodikliu žymime: du minus 3 šaukštai. lygus nuo vieno iki dviejų trečiajam laipsniui.

Vardiklis apskaičiuojamas paprastai: du kubeliai;

3 = 2*2*2=8.

Atsakymas: nuo dviejų iki minus 3 šaukštai. = viena aštuntoji.

Skaičius, pakeltas į laipsnį skambinti numeriu, kuris kelis kartus padauginamas iš savęs.

Neigiamą reikšmę turinčio skaičiaus galia (a–n) gali būti apibrėžtas taip pat, kaip nustatomas to paties skaičiaus su teigiamu eksponentu laipsnis (an) . Tačiau tai taip pat reikalauja papildomas apibrėžimas. Formulė apibrėžiama taip:

a-n = (1 / a n)

Neigiamų skaičių laipsnių reikšmių savybės yra panašios į laipsnius su teigiamu eksponentu. Pavaizduota lygtis a m / a n = a m-n gali būti sąžiningas kaip

« Niekur, kaip matematikoje, išvados aiškumas ir tikslumas neleidžia žmogui išsisukti nuo atsakymo, kalbant apie klausimą.».

A. D. Aleksandrovas

adresu n daugiau m , taip pat m daugiau n . Pažiūrėkime į pavyzdį: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pirmiausia turite nustatyti skaičių, kuris veikia kaip laipsnio apibrėžimas. b=a(-n) . Šiame pavyzdyje -n yra laipsnio rodiklis b - pageidaujama skaitinė reikšmė, a - laipsnio pagrindas kaip natūrali skaitinė reikšmė. Tada nustatykite modulį, tai yra, absoliučią neigiamo skaičiaus vertę, kuri veikia kaip eksponentas. Apskaičiuokite nurodyto skaičiaus laipsnį, palyginti su absoliučiu skaičiumi kaip rodikliu. Laipsnio reikšmė randama padalijus vieną iš gauto skaičiaus.

Ryžiai. vienas

Apsvarstykite skaičiaus su neigiamu trupmeniniu rodikliu galią. Įsivaizduokite, kad skaičius a yra bet koks teigiamas skaičius, skaičiai n ir m - sveikieji skaičiai. Pagal apibrėžimą a , kuris pakeltas į galią - lygus vienetui, padalytam iš to paties skaičiaus su teigiamu laipsniu (1 pav.). Kai skaičiaus laipsnis yra trupmena, tai tokiais atvejais naudojami tik skaičiai su teigiamais rodikliais.

Verta prisiminti kad nulis niekada negali būti skaičiaus rodiklis (dalybos iš nulio taisyklė).

Išplitus tokiai sąvokai kaip skaičius, prasidėjo tokios manipuliacijos kaip matavimo skaičiavimai, taip pat matematikos kaip mokslo raida. Neigiamos reikšmės buvo įvestos dėl algebros vystymosi, kuri davė bendrieji sprendimai aritmetinius uždavinius, neatsižvelgiant į jų konkrečią reikšmę ir pradinius skaitinius duomenis. Indijoje 6–11 amžiuje neigiamos skaičių reikšmės buvo sistemingai naudojamos sprendžiant problemas ir buvo interpretuojamos taip pat, kaip ir šiandien. Europos moksle neigiami skaičiai pradėti plačiai naudoti R. Dekarto dėka, kuris geometriškai interpretavo neigiamus skaičius kaip atkarpų kryptis. Tai buvo Dekartas, kuris pasiūlė skaičių, padidintą iki laipsnio, parodyti kaip dviejų aukštų formulę a n .

Rodiklis naudojamas tam, kad būtų lengviau parašyti skaičiaus dauginimo iš savęs operaciją. Pavyzdžiui, užuot rašę, galite rašyti 4 5 (\displaystyle 4^(5))(tokio perėjimo paaiškinimas pateiktas pirmoje šio straipsnio dalyje). Galios palengvina ilgas ar sudėtingas išraiškas ar lygtis; Be to, galios yra lengvai pridedamos ir atimamos, todėl išraiška arba lygtis supaprastėja (pvz., 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Pastaba: jei reikia išspręsti eksponentinę lygtį (tokioje lygtyje nežinomasis yra eksponente), skaitykite.

Žingsniai

Paprastų problemų sprendimas su galiomis

Padauginkite eksponento bazę iš savęs skaičiaus, lygaus eksponentui. Jei jums reikia rankiniu būdu išspręsti problemą su laipsniais, perrašykite eksponentą kaip daugybos operaciją, kur laipsnio bazė dauginama iš savęs. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į laipsnį 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Šiuo atveju 3 laipsnio bazė turi būti padauginta iš savęs 4 kartus: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Štai kiti pavyzdžiai:

Pirma, padauginkite pirmuosius du skaičius. Pavyzdžiui, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nesijaudinkite – skaičiavimo procesas nėra toks sudėtingas, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Pirmiausia padauginkite pirmuosius du keturgubus, o tada pakeiskite juos rezultatu. Kaip šitas:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Padauginkite rezultatą (mūsų pavyzdyje 16) iš kito skaičiaus. Kiekvienas sekantis rezultatas proporcingai didės. Mūsų pavyzdyje padauginkite 16 iš 4. Taip:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4 = 64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4 = 256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5) = 256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Pirmųjų dviejų skaičių padauginimo rezultatą toliau dauginkite iš kito skaičiaus, kol gausite galutinį atsakymą. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmuosius du skaičius, o tada padauginkite rezultatą iš kito sekos skaičiaus. Šis metodas tinka bet kokiam laipsniui. Mūsų pavyzdyje turėtumėte gauti: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Išspręskite šias problemas. Patikrinkite savo atsakymą skaičiuotuvu.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Skaičiuoklėje ieškokite rakto, pažymėto „exp“ arba „ x n (\displaystyle x^(n))“ arba „^“. Naudodami šį klavišą padidinsite skaičių iki laipsnio. Rankiniu būdu apskaičiuoti laipsnį naudojant didelį eksponentą (pavyzdžiui, laipsnį) praktiškai neįmanoma 9 15 (\displaystyle 9^ (15))), tačiau skaičiuotuvas gali lengvai susidoroti su šia užduotimi. „Windows 7“ standartinį skaičiuotuvą galima perjungti į inžinerinį režimą; Norėdami tai padaryti, spustelėkite „Peržiūrėti“ -\u003e „Inžinerija“. Norėdami pereiti į įprastą režimą, spustelėkite „View“ -\u003e „Normal“.

   • Patikrinkite savo atsakymą su paieškos variklis(„Google“ arba „Yandex“). Naudodami kompiuterio klaviatūros klavišą „^“, įveskite reiškinį į paieškos variklį, kuris akimirksniu parodys teisingą atsakymą (ir galbūt pasiūlys panašias išraiškas studijoms).

   Sudėjimas, atimtis, laipsnių daugyba

   1. Galite pridėti ir atimti galias tik tuo atveju, jei jų bazė yra tokia pati. Jei jums reikia pridėti galias su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, tada sudėties operaciją galite pakeisti daugybos operacija. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Atminkite, kad laipsnis 4 5 (\displaystyle 4^(5)) gali būti pavaizduotas kaip 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); taigi, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kur 1 +1 =2). Tai yra, suskaičiuokite panašių laipsnių skaičių ir padauginkite tokį laipsnį iš šio skaičiaus. Mūsų pavyzdyje padidinkite 4 iki penktojo laipsnio, o tada rezultatą padauginkite iš 2. Atminkite, kad sudėjimo operaciją galima pakeisti daugybos operacija, pvz. 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Štai kiti pavyzdžiai:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Dauginant laipsnius su ta pačia baze, pridedami jų eksponentai (pagrindas nesikeičia). Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Tokiu atveju tereikia pridėti rodiklius, palikdami pagrindą nepakeistą. Šiuo būdu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Štai vaizdinis šios taisyklės paaiškinimas:

      Didinant laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami. Pavyzdžiui, suteiktas laipsnis. Kadangi rodikliai yra padauginti, tada (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Šios taisyklės prasmė yra ta, kad jūs padauginate galią (x 2) (\displaystyle (x^(2))) ant savęs penkis kartus. Kaip šitas:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Kadangi bazė yra ta pati, eksponentai tiesiog susumuojami: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Rodiklis su neigiamu eksponentu turi būti paverstas trupmena (atvirkštine galia). Nesvarbu, jei nežinote, kas yra abipusis santykis. Jei jums suteikiamas laipsnis su neigiamu rodikliu, pavyzdžiui, 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), įrašykite šią laipsnį į trupmenos vardiklį (į skaitiklį įdėkite 1), o eksponentą padarykite teigiamą. Mūsų pavyzdyje: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Štai kiti pavyzdžiai:

      Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami (pagrindas nesikeičia). Dalybos operacija yra priešinga daugybos operacijai. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Atimkite vardiklyje esantį rodiklį iš skaitiklio laipsnio (pagrindo nekeiskite). Šiuo būdu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Vardiklio laipsnį galima parašyti taip: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Atminkite, kad trupmena yra skaičius (laipsnis, išraiška) su neigiamu rodikliu.

   4. Žemiau yra keletas posakių, padėsiančių išmokti išspręsti galios problemas. Aukščiau pateiktos išraiškos apima šiame skyriuje pateiktą medžiagą. Norėdami pamatyti atsakymą, tiesiog pažymėkite tuščią vietą po lygybės ženklo.

   Užduočių sprendimas su trupmeniniais eksponentais

   Laipsnis su trupmeniniu rodikliu (pavyzdžiui, ) konvertuojamas į šaknies ištraukimo operaciją. Mūsų pavyzdyje: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nesvarbu, koks skaičius yra trupmeninio rodiklio vardiklyje. Pavyzdžiui, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) yra ketvirtoji "x" šaknis x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jei rodiklis yra neteisinga trupmena, tada toks eksponentas gali būti išskaidytas į dvi laipsnius, kad būtų supaprastintas problemos sprendimas. Čia nėra nieko sudėtingo – tiesiog atsiminkite galių dauginimo taisyklę. Pavyzdžiui, suteiktas laipsnis. Paverskite tą rodiklį šaknimi, kurios rodiklis yra lygus trupmeninio rodiklio vardikliui, o tada pakelkite tą šaknį iki laipsnio, lygaus trupmeninio rodiklio skaitikliui. Norėdami tai padaryti, atsiminkite tai 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Mūsų pavyzdyje:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Kai kuriuose skaičiuotuvuose yra eksponentų skaičiavimo mygtukas (iš pradžių reikia įvesti bazę, tada paspausti mygtuką ir tada įvesti eksponentą). Jis žymimas kaip ^ arba x^y.
   3. Atminkite, kad bet kuris skaičius yra lygus pirmajam laipsniui, pavyzdžiui, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Be to, bet koks skaičius, padaugintas arba padalytas iš vieno, yra lygus sau, pavyzdžiui, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1 = 5) ir 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1 = 5).
   4. Žinokite, kad laipsnis 0 0 neegzistuoja (toks laipsnis neturi sprendimo). Kai bandysite išspręsti tokį laipsnį skaičiuotuvu ar kompiuteriu, gausite klaidą. Tačiau atminkite, kad bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus 1, pavyzdžiui, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Aukštojoje matematikoje, kuri veikia su įsivaizduojamais skaičiais: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kur i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e yra konstanta, maždaug lygi 2,7; a yra savavališka konstanta. Šios lygybės įrodymą galima rasti bet kuriame aukštosios matematikos vadovėlyje.

   Įspėjimai

   • Didėjant eksponentui, jo vertė labai padidėja. Todėl, jei atsakymas jums atrodo neteisingas, iš tikrųjų jis gali pasirodyti teisingas. Tai galite patikrinti nubraižydami bet kurią eksponentinę funkciją, pvz., 2 x .

Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.

Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2 .
A 3 - b n ir h 5 - d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Šansai tos pačios tų pačių kintamųjų galios galima pridėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2 .

Taip pat akivaizdu, kad jei paimtume du kvadratus a, tris kvadratus a, arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai įvairūs kintamieji ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, reikia pridėti juos pridedant prie jų ženklų.

Taigi a 2 ir 3 suma yra 2 + a 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas nėra du kartus didesnis už a kvadratą, bet du kartus didesnis už a kubą.

A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrio ženklai.

Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6

Galios dauginimas

Skaičius su laipsniais galima padauginti kaip ir kitus dydžius rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.

Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3 .

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.

Taigi, a n .a m = a m+n .

Jei a n , a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra n laipsnis;

Ir a m , imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek laipsnis m lygus;

Taigi, galias su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant eksponentus.

Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.

1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra

Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygi sumai arba jų kvadratų skirtumas.

Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.

Taigi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4 .
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8 .

Valdžių padalijimas

Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos pavidalu.

Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra a 3 .

Arba:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 padalytas iš 3 atrodo kaip $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.

Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tai yra, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Arba:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Taisyklė taip pat galioja skaičiams su neigiamas laipsnių reikšmės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2 .
Taip pat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Būtina labai gerai įsisavinti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje naudojami labai plačiai.

Pavyzdžiai, kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

1. Sumažinkite eksponentus $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atsakymas: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Sumažinkite eksponentus $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atsakymas: $\frac(2x)(1)$ arba 2x.

3. Sumažinkite eksponentus a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .

4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5/5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.

6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).

7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .

8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.

9. Padalinkite (h 3 – 1)/d 4 iš (d n + 1)/val.

Šioje medžiagoje analizuosime, kas yra skaičiaus galia. Be pagrindinių apibrėžimų, suformuluosime, kas yra laipsniai su natūraliaisiais, sveikaisiais, racionaliais ir neracionaliais rodikliais. Kaip visada, visos sąvokos bus iliustruojamos užduočių pavyzdžiais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirma, mes suformuluojame pagrindinį laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti pagrindines daugybos taisykles. Iš anksto išsiaiškinkime, kad kol kas baziniu skaičiumi imsime realųjį skaičių (žymime raide a), o rodiklį - natūralųjį skaičių (žymimą raide n).

1 apibrėžimas

A laipsnis su natūraliuoju rodikliu n yra n-ojo veiksnių skaičiaus sandauga, kurių kiekvienas yra lygus skaičiui a. Laipsnis parašytas taip: a n, o formulės pavidalu jo sudėtis gali būti pavaizduota taip:

Pavyzdžiui, jei rodiklis yra 1, o bazė yra a, tada pirmoji laipsnio a rašoma kaip a 1. Atsižvelgiant į tai, kad a yra koeficiento reikšmė, o 1 yra veiksnių skaičius, galime padaryti tokią išvadą a 1 = a.

Apskritai galime pasakyti, kad laipsnis yra patogus žymėjimas didelis skaičius lygūs daugikliai. Taigi, formos įrašas 8 8 8 8 gali būti sumažintas iki 8 4 . Lygiai taip pat produktas padeda mums nerašyti daug terminų (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; tai jau išanalizavome straipsnyje, skirtame natūraliųjų skaičių daugybai.

Kaip teisingai perskaityti laipsnio įrašą? Visuotinai priimtas variantas yra „a iki n laipsnio“. Arba galite pasakyti „n-oji a galia“ arba „n-oji galia“. Jei, tarkime, pavyzdyje yra įrašas 8 12 , galime skaityti „8 iki 12 laipsnio“, „8 iki 12 laipsnio“ arba „12 laipsnio 8“.

Antrasis ir trečiasis skaičiaus laipsniai turi savo nusistovėjusius pavadinimus: kvadratas ir kubas. Jei matome, pavyzdžiui, skaičiaus 7 (7 2) antrąją laipsnį, galime pasakyti „7 kvadratas“ arba „skaičiaus 7 kvadratas“. Panašiai trečiasis laipsnis skaitomas taip: 5 3 yra „skaičiaus 5 kubas“ arba „5 kubas“. Tačiau taip pat galima naudoti standartinę formuluotę „antrasis / trečiasis laipsnis“, tai nebus klaida.

1 pavyzdys

Pažvelkime į laipsnio pavyzdį su natūraliu rodikliu: už 5 7 penki bus pagrindas, o septyni – rodiklis.

Pagrindas neturi būti sveikasis skaičius: laipsniui (4 , 32) 9 bazė bus trupmena 4, 32, o eksponentas bus devyni. Atkreipkite dėmesį į skliaustus: toks žymėjimas daromas visiems laipsniams, kurių pagrindai skiriasi nuo natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Kam skirti skliaustai? Jie padeda išvengti klaidų skaičiavimuose. Tarkime, kad turime du įrašus: (− 2) 3 ir − 2 3 . Pirmasis iš jų reiškia neigiamą skaičių atėmus du, pakeltą iki laipsnio, kurio natūralusis rodiklis yra trys; antrasis yra skaičius, atitinkantis priešingą laipsnio reikšmę 2 3 .

Kartais knygose galite rasti šiek tiek kitokią skaičiaus laipsnio rašybą - a^n(kur a yra bazė, o n yra rodiklis). Taigi 4^9 yra tas pats kaip 4 9 . Jei n yra kelių skaitmenų skaičius, jis rašomas skliausteliuose. Pavyzdžiui, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Bet mes naudosime žymėjimą a n kaip dažniau.

Kaip apskaičiuoti laipsnio reikšmę natūraliuoju rodikliu, nesunku atspėti iš jo apibrėžimo: tereikia padauginti n-ąjį skaičių kartų. Daugiau apie tai rašėme kitame straipsnyje.

Laipsnio sąvoka yra priešinga kitai matematinei sąvokai – skaičiaus šaknis. Jei žinome rodiklio ir laipsnio reikšmę, galime apskaičiuoti jo bazę. Laipsnis turi tam tikrų specifinių savybių, kurios yra naudingos sprendžiant problemas, kurias analizavome atskiroje medžiagoje.

Rodikliai gali turėti ne tik natūraliuosius skaičius, bet apskritai bet kokias sveikųjų skaičių reikšmes, įskaitant neigiamus vienetus ir nulius, nes jie taip pat priklauso sveikųjų skaičių aibei.

2 apibrėžimas

Skaičiaus su teigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu laipsnis gali būti rodomas kaip formulė: .

Be to, n yra bet koks teigiamas sveikasis skaičius.

Panagrinėkime nulinio laipsnio sąvoką. Norėdami tai padaryti, naudojame metodą, kuriame atsižvelgiama į koeficiento ypatybes laipsniams su lygiomis bazėmis. Jis suformuluotas taip:

3 apibrėžimas

Lygybė a m: a n = a m − n bus teisinga tokiomis sąlygomis: m ir n yra natūralūs skaičiai, m< n , a ≠ 0 .

Paskutinė sąlyga yra svarbi, nes vengiama dalyti iš nulio. Jei m ir n reikšmės yra lygios, gausime tokį rezultatą: a n: a n = a n − n = a 0

Bet tuo pat metu a n: a n = 1 yra koeficientas lygiais skaičiais a n ir a. Pasirodo, bet kurio nulinio skaičiaus nulinis laipsnis yra lygus vienetui.

Tačiau toks įrodymas netinka nuo nulio iki nulio laipsnio. Norėdami tai padaryti, mums reikia kitos galių savybės - galių, turinčių vienodas bazes, savybių. Tai atrodo taip: a m a n = a m + n .

Jei n yra 0, tada a m a 0 = a m(ši lygybė mums tai taip pat įrodo a 0 = 1). Bet jei ir taip pat yra lygus nuliui, mūsų lygybė įgauna formą 0 m 0 0 = 0 m, Tai bus teisinga bet kuriai natūraliai n reikšmei ir nesvarbu, kokia tiksliai yra laipsnio reikšmė 0 0 , tai yra, jis gali būti lygus bet kuriam skaičiui, ir tai neturės įtakos lygybės galiojimui. Todėl formos įrašas 0 0 neturi savo ypatingos reikšmės ir mes jos jai nepriskirsime.

Jei pageidaujate, tai lengva patikrinti a 0 = 1 susilieja su laipsnio savybe (a m) n = a m n su sąlyga, kad laipsnio pagrindas nėra lygus nuliui. Taigi bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulinis, laipsnis yra lygus vienetui.

2 pavyzdys

Pažvelkime į pavyzdį su konkrečiais skaičiais: Taigi, 5 0 - vienetas, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ir reikšmė 0 0 neapibrėžtas.

Po nulinio laipsnio mums belieka išsiaiškinti, kas yra neigiamas laipsnis. Tam mums reikia tos pačios laipsnių su lygiomis bazėmis sandaugos, kurią jau naudojome aukščiau: a m · a n = a m + n.

Įvedame sąlygą: m = − n , tada a neturi būti lygi nuliui. Tai seka a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Pasirodo, kad a n ir a-n turime abipusius abipusius skaičius.

Dėl to a iki neigiamo sveikojo skaičiaus galia yra ne kas kita, kaip trupmena 1 a n .

Ši formuluotė patvirtina, kad laipsniui su neigiamu sveikuoju rodikliu galioja visos tos pačios savybės, kurias turi laipsnis su natūraliuoju rodikliu (su sąlyga, kad bazė nėra lygi nuliui).

3 pavyzdys

Laipsnį a su neigiamu sveikuoju skaičiumi n galima pavaizduoti kaip trupmeną 1 a n . Taigi, a - n = 1 a n pagal sąlygą a ≠ 0 ir n yra bet koks natūralusis skaičius.

Iliustruojame savo idėją konkrečiais pavyzdžiais:

4 pavyzdys

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paskutinėje pastraipos dalyje stengsimės viską, kas pasakyta, aiškiai pavaizduoti vienoje formulėje:

4 apibrėžimas

A laipsnis su natūraliuoju rodikliu z yra: az = az, e su z ir z yra teigiamas sveikas skaičius 1, z = 0 ir a ≠ 0, (jei z = 0 ir a = 0 gauname 0 0, reikšmės išraiškos 0 0 nenustatyti)   1 az , jei z yra neigiamas sveikasis skaičius ir a ≠ 0 (jei z yra neigiamas sveikas skaičius ir a = 0 gauname 0 z , tai yra a n d e n t i o n )

Kas yra laipsniai su racionaliuoju rodikliu

Išanalizavome atvejus, kai rodiklis yra sveikasis skaičius. Tačiau taip pat galite padidinti skaičių iki laipsnio, kai jo rodiklis yra trupmeninis skaičius. Tai vadinama laipsniu su racionaliuoju rodikliu. Šiame poskyryje įrodysime, kad jis turi tas pačias savybes kaip ir kitos galios.

Kas yra racionalieji skaičiai? Jų rinkinyje yra ir sveikieji, ir trupmeniniai skaičiai, o trupmeniniai skaičiai gali būti pateikiami kaip paprastosios trupmenos (ir teigiamos, ir neigiamos). Suformuluojame skaičiaus a laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu m / n, kur n yra natūralusis skaičius, o m yra sveikas skaičius.

Turime tam tikrą laipsnį su trupmeniniu rodikliu a m n . Kad galios savybė pasiliktų laipsnyje, lygybė a m n n = a m n · n = a m turi būti teisinga.

Atsižvelgiant į n-osios šaknies apibrėžimą ir kad a m n n = a m , galime priimti sąlygą a m n = a m n, jei a m n turi prasmę nurodytoms m , n ir a reikšmėms.

Aukščiau pateiktos laipsnio savybės su sveikuoju rodikliu bus teisingos esant sąlygai a m n = a m n .

Pagrindinė mūsų samprotavimų išvada yra tokia: kai kurių skaičių a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m / n yra n-ojo laipsnio nuo skaičiaus a iki laipsnio m šaknis. Tai tiesa, jei nurodytoms m, n ir a reikšmėms išraiška a m n yra prasminga.

1. Galime apriboti laipsnio pagrindo reikšmę: paimkite a, kuri teigiamoms m reikšmėms bus didesnė arba lygi 0, o neigiamoms – griežtai mažesnė (kadangi m ≤ 0 gauname 0 m, tačiau šis laipsnis nėra apibrėžtas). Šiuo atveju laipsnio apibrėžimas su trupmeniniu rodikliu atrodys taip:

Trupmeninis rodiklis m/n tam tikram teigiamam skaičiui a yra n-oji šaknis a pakelto iki m laipsnio. Formulės pavidalu tai gali būti pavaizduota taip:

Nulinės bazės laipsniui ši nuostata taip pat tinka, bet tik tuo atveju, jei jo rodiklis yra teigiamas skaičius.

Laipsnį su baziniu nuliu ir teigiamu trupmeniniu rodikliu m/n galima išreikšti kaip

0 m n = 0 m n = 0, kai teigiamas sveikasis skaičius m ir natūralusis n .

Su neigiamu santykiu m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Atkreipkime dėmesį į vieną dalyką. Kadangi įvedėme sąlygą, kad a yra didesnis arba lygus nuliui, kai kurių atvejų atmetėme.

Išraiška a m n kartais vis dar turi prasmę kai kurioms neigiamoms a reikšmėms ir kai kurioms neigiamoms m reikšmėms. Taigi, įrašai yra teisingi (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , kuriuose bazė yra neigiama.

2. Antrasis būdas yra atskirai apsvarstyti šaknį a m n su lyginiais ir nelyginiais rodikliais. Tada turime įvesti dar vieną sąlygą: laipsnis a, kurio eksponente yra redukuojama paprastoji trupmena, laikomas laipsniu a, kurio eksponente yra atitinkama neredukuojama trupmena. Vėliau paaiškinsime, kodėl mums reikia šios sąlygos ir kodėl ji tokia svarbi. Taigi, jei turime įrašą a m · k n · k , galime jį sumažinti iki a m n ir supaprastinti skaičiavimus.

Jei n yra nelyginis skaičius, o m yra teigiamas, o a yra bet koks neneigiamas skaičius, tada m n yra prasminga. Neneigiamo a sąlyga būtina, nes lyginio laipsnio šaknis iš neigiamo skaičiaus neišskiriama. Jei m reikšmė teigiama, tai a gali būti ir neigiama, ir nulis, nes Nelyginę šaknį galima paimti iš bet kurio realaus skaičiaus.

Sujungkime visus duomenis virš apibrėžimo į vieną įrašą:

Čia m/n reiškia neredukuojamą trupmeną, m yra bet koks sveikasis skaičius, o n yra bet koks natūralusis skaičius.

5 apibrėžimas

Bet kurios paprastosios redukuotos trupmenos m · k n · k laipsnį galima pakeisti a m n .

A laipsnis su neredukuojamu trupmeniniu eksponentu m / n – gali būti išreikštas kaip m n šiais atvejais: - bet kuriai realiajai a teigiamas sveikasis skaičius m ir nelyginės natūralios vertės n . Pavyzdys: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Bet kuriai nulinei realiai a, neigiamos sveikųjų skaičių m reikšmės ir nelyginės n reikšmės, pavyzdžiui, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) – 27

Bet kuriai neneigiamai a teigiamas sveikasis skaičius m ir net n, pavyzdžiui, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Bet kuriam teigiamam a , neigiamam sveikajam skaičiui m ir net n , pavyzdžiui, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Kitų verčių atveju laipsnis su trupmeniniu rodikliu nenustatomas. Tokių galių pavyzdžiai: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Dabar paaiškinkime aukščiau paminėtos sąlygos svarbą: kodėl trupmeną pakeisti redukuojamu laipsniu, o trupmeną neredukuojamąja. Jei nebūtume to darę, tokios situacijos būtų susiklosčiusios, tarkime, 6/10 = 3/5. Tada (- 1) 6 10 = - 1 3 5 turėtų būti tiesa, bet - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ir (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Laipsnio apibrėžimas su trupmeniniu rodikliu, kurį pateikėme pirmiausia, yra patogiau pritaikyti praktikoje nei antrąjį, todėl jį naudosime ir toliau.

6 apibrėžimas

Taigi teigiamo skaičiaus a su trupmeniniu rodikliu m / n galia apibrėžiama kaip 0 m n = 0 m n = 0 . Esant neigiamam a užrašas a m n neturi prasmės. Teigiamų trupmeninių rodiklių nulio laipsnis m/n apibrėžiamas kaip 0 m n = 0 m n = 0, neigiamiems trupmeniniams eksponentams nulio laipsnio neapibrėžiame.

Išvadose pažymime, kad bet koks trupmeninis rodiklis gali būti parašytas ir kaip mišrus skaičius, ir kaip dešimtainė trupmena: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Skaičiuojant geriau pakeisti eksponentą bendroji trupmena ir tada naudokite laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose gauname:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Kas yra laipsniai su neracionaliuoju ir realiuoju rodikliu

Kas yra tikrieji skaičiai? Jų aibėje yra ir racionalių, ir neracionalių skaičių. Todėl, norėdami suprasti, kas yra laipsnis su realiuoju rodikliu, turime apibrėžti laipsnius su racionaliais ir neracionaliais rodikliais. Apie racionalumą jau minėjome aukščiau. Žingsnis po žingsnio spręskime neracionalius rodiklius.

5 pavyzdys

Tarkime, kad turime neracionalųjį skaičių a ir jo dešimtainių aproksimacijų seką a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Pavyzdžiui, paimkime reikšmę a = 1 , 67175331 . . . , tada

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Aproksimacijų sekas galime susieti su laipsnių seka a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jei prisiminsime tai, apie ką kalbėjome anksčiau apie skaičių padidinimą iki racionalaus laipsnio, tada galime patys apskaičiuoti šių galių reikšmes.

Paimkite pavyzdį a = 3, tada a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . ir tt

Laipsnių seka gali būti sumažinta iki skaičiaus, kuris bus laipsnio reikšmė su baze a ir neracionaliuoju rodikliu a. Kaip rezultatas: laipsnis su 3 1 formos neracionaliuoju eksponentu, 67175331. . gali būti sumažintas iki 6, 27.

7 apibrėžimas

Teigiamo skaičiaus a su neracionaliuoju rodikliu a galia rašoma kaip a . Jo reikšmė yra sekos riba a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kur a 0 , a 1 , a 2 , . . . yra nuoseklios iracionaliojo skaičiaus a dešimtainės aproksimacijos. Laipsnį su nuline baze taip pat galima apibrėžti teigiamiems neracionaliems eksponentams, o 0 a \u003d 0 Taigi, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. O neigiamiems to padaryti negalima, nes, pavyzdžiui, reikšmė 0 - 5, 0 - 2 π neapibrėžta. Pavyzdžiui, vienetas, padidintas iki bet kokios neracionalios galios, lieka vienetu, o 1 2 , 1 5 iš 2 ir 1 - 5 bus lygus 1 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter