Visų figūrų plotų skaičiavimo formulės. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Trikampis. Per pagrindą ir aukštį

Norėdami išspręsti geometrijos problemas, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprastus triukus, apie kuriuos mes kalbėsime.

Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!

Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, norint išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius antroje matematikos profilio egzamino dalyje, taip pat naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.

O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalių būdų! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.

1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – suskaidykime šią figūrą į tas, apie kurias visi žinome, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.

Padalinkite šį keturkampį horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .

Atsakymas:.

2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip bet kokių sričių skirtumas.

Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus pagrindas ir aukštis šiame trikampyje! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiųjų trikampių plotų skirtumui. Matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .

Atsakymas:.

3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros, o jos dalies plotą. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį. Raskite spindulio apskritimo, kurio lanko ilgis yra lygus, sektoriaus plotą. .

Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus , Kadangi . Belieka išsiaiškinti, kokia apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra (nuo), o šio sektoriaus lanko ilgis yra , todėl lanko ilgis kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, ant kurio remiasi šis lankas, taip pat yra kartų mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.

Geometrinis plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, apribota uždaru šios figūros kontūru). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

1. Trikampio ploto formulė kraštinei ir aukščiui
   Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
   
2. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir apibrėžto apskritimo spindulys
   
3. Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir įbrėžto apskritimo spindulys
   Trikampio plotas yra lygi trikampio pusės perimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.
   
kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,

Kvadratinių plotų formulės

1. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį
   kvadratinis plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
2. Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į įstrižainės ilgį
   kvadratinis plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
   

   S =	1	2
   	2

kur S yra kvadrato plotas,
yra kvadrato kraštinės ilgis,
yra kvadrato įstrižainės ilgis.

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas yra lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai

kur S yra stačiakampio plotas,
yra stačiakampio kraštinių ilgiai.

Lygiagretainio ploto formulės

1. Lygiagretaus ploto formulė šonų ilgiui ir aukščiui
   Lygiagretaus plotas
2. Lygiagretainio ploto formulė, nurodyta dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų
   Lygiagretaus plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
   

   a b sinα

kur S yra lygiagretainio plotas,
yra lygiagretainio kraštinių ilgiai,
yra lygiagretainio aukštis,
yra kampas tarp lygiagretainio kraštinių.

Rombo ploto formulės

1. Rombo ploto formulė, nurodyta kraštinės ilgiu ir aukščiu
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
2. Rombo ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį ir kampą
   Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
3. Rombo ploto formulė iš jo įstrižainių ilgių
   Rombo sritis yra lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.
kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.

Trapecijos ploto formulės

1. Garnio trapecijos formulė

   kur S yra trapecijos plotas,
   - trapecijos pagrindų ilgis,
   - trapecijos kraštinių ilgis,
   

Ploto formulė Būtina nustatyti figūros plotą, kuris yra tikrosios vertės funkcija, apibrėžta tam tikroje figūrų klasėje Euklido plokštumoje ir tenkinanti 4 sąlygas:

1. Teigiamas – plotas negali būti mažesnis už nulį;
2. Normalizavimas - kvadrato, kurio kraštinė yra vienybės, plotas yra 1;
3. Sutapimas – sutampančios figūros turi vienodą plotą;
4. Adityvumas - 2 figūrų sąjungos plotas be bendrų vidinių taškų yra lygus šių figūrų plotų sumai.

Geometrinių formų ploto formulės.

Geometrinė figūra	Formulė	Piešimas
Sudėjus atstumus tarp išgaubto keturkampio priešingų kraštinių vidurio taškų, rezultatas bus lygus jo pusperimetrui.
Apskritimo sektorius. Apskritimo sektoriaus plotas lygus jo lanko ir pusės spindulio sandaugai.
apskritimo segmentas. Norint gauti segmento ASB plotą, pakanka atimti trikampio AOB plotą iš sektoriaus AOB ploto.	S = 1/2 R(s – AC)
Elipsės plotas yra lygus elipsės didžiosios ir mažosios pusašių ilgių sandaugai, skaičiuojant pi.
Elipsė. Kitas variantas, kaip apskaičiuoti elipsės plotą, yra per du jos spindulius.
Trikampis. Per pagrindą ir aukštį. Apskritimo ploto formulė pagal spindulį ir skersmenį.
Kvadratas. Per jo pusę. Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadratas. Per savo įstrižainę. Kvadrato plotas yra pusė jo įstrižainės ilgio kvadrato.
taisyklingas daugiakampis. Norint nustatyti taisyklingo daugiakampio plotą, būtina jį padalyti į lygius trikampius, kurie turėtų bendrą viršūnę įbrėžto apskritimo centre.	S= r p = 1/2 r n a

Žinios, kaip išmatuoti Žemę, atsirado senovėje ir palaipsniui susiformavo geometrijos moksle. Iš graikų kalbos šis žodis yra išverstas kaip „žemėtvarka“.

Plokščios Žemės ploto ilgio ir pločio matas yra plotas. Matematikoje jis dažniausiai žymimas lotyniška raide S (iš anglų kalbos „square“ – „plotas“, „kvadratas“) arba graikiška raide σ (sigma). S žymi figūros plotą plokštumoje arba kūno paviršiaus plotą, o σ yra laido skerspjūvio plotas fizikoje. Tai yra pagrindiniai simboliai, nors gali būti ir kitų, pavyzdžiui, medžiagų stiprumo srityje A yra profilio skerspjūvio plotas.

Susisiekus su

Skaičiavimo formulės

Žinodami paprastų figūrų sritis, galite rasti sudėtingesnių figūrų parametrus.. Senovės matematikai sukūrė formules, pagal kurias jas galima lengvai apskaičiuoti. Tokios figūros yra trikampis, keturkampis, daugiakampis, apskritimas.

Norint rasti sudėtingos plokščios figūros plotą, ji suskaidoma į daugybę paprastų formų, tokių kaip trikampiai, trapecijos ar stačiakampiai. Tada matematiniais metodais gaunama šios figūros ploto formulė. Panašus metodas naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir matematinės analizės metu skaičiuojant figūrų, apribotų kreivių, plotus.

Trikampis

Pradėkime nuo paprasčiausios formos – trikampio. Jie yra stačiakampiai, lygiašoniai ir lygiakraščiai. Paimkite bet kurį trikampį ABC, kurio kraštinės AB=a, BC=b ir AC=c (∆ ABC). Norėdami rasti jo plotą, prisiminkime sinusų ir kosinusų teoremas, žinomas iš mokyklinio matematikos kurso. Atsisakę visų skaičiavimų, gauname šias formules:

• S=√ - visiems žinoma Garnio formulė, kur p=(a+b+c)/2 - trikampio pusės perimetras;
• S = a h/2, kur h yra aukštis, nuleistas į a pusę;
• S=a b (sin γ)/2, kur γ yra kampas tarp kraštinių a ir b;
• S=a b/2, jei ∆ ABC yra stačiakampis (čia a ir b yra kojos);
• S=b² (sin (2 β))/2, jei ∆ ABC yra lygiašonis (čia b yra vienas iš „klunų“, β – kampas tarp trikampio „klunų“);
• S=a² √¾, jei ∆ ABC lygiakraštis (čia a yra trikampio kraštinė).

Keturkampis

Tebūnie keturkampis ABCD, kurio AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Norint rasti savavališko 4 kampo plotą S, reikia jį padalyti įstrižaine į du trikampius, kurių plotai S1 ir S2 paprastai nėra lygūs.

Tada naudodamiesi formulėmis apskaičiuokite jas ir sudėkite, t.y. S=S1+S2. Tačiau jei keturratis priklauso tam tikrai klasei, tada jo plotą galima rasti naudojant anksčiau žinomas formules:

• S=(a+c) h/2=eh, jei keturkampis yra trapecija (čia a ir c yra pagrindai, e yra trapecijos vidurinė linija, h yra aukštis, nuleistas į vieną iš trapecijos pagrindų ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jei ABCD yra lygiagretainis (čia φ – kampas tarp kraštinių a ir b, h – aukštis nuleistas į kraštinę a, d1 ir d2 – įstrižainės);
• S=a b=d²/2, jei ABCD yra stačiakampis (d yra įstrižainė);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jei ABCD yra rombas (a – rombo kraštinė, φ – vienas iš jo kampų, P – perimetras);
• S=a²=P²/16=d²/2, jei ABCD yra kvadratas.

Poligonas

Norėdami rasti n kampo plotą, matematikai suskaido jį į paprasčiausius lygius trikampius, suras kiekvieno iš jų plotą ir tada juos sudeda. Bet jei daugiakampis priklauso įprastų klasei, tada naudojama formulė:

S=anh/2=a² n/=P²/, kur n yra daugiakampio viršūnių (arba kraštinių) skaičius, a yra n kampo kraštinė, P yra jo perimetras, h yra apotemas, ty atkarpa, nubrėžta nuo daugiakampio centro iki vienos iš jo kraštinių 90° kampu.

Apskritimas

Apskritimas yra puikus daugiakampis su begaliniu kraštinių skaičiumi.. Turime apskaičiuoti raiškos ribą dešinėje daugiakampio ploto formulėje su kraštinių skaičiumi n link begalybės. Šiuo atveju daugiakampio perimetras pavirs R spindulio apskritimo, kuris bus mūsų apskritimo riba, ilgiu ir taps lygus P=2 π R. Pakeiskite šią išraišką aukščiau pateikta formule. Mes gausime:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Raskime šios išraiškos ribą kaip n→∞. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į tai, kad lim (cos (180°/n)) n→∞ yra lygus cos 0°=1 (lim yra ribos ženklas), o lim = lim, kai n→∞ yra lygus 1/π (laipsnio matą išvertėme į radianą, naudodami santykį π rad=180°, ir pritaikėme pirmąją reikšmingą ribą lim (sin x)/x=1 ties x→∞). Pakeisdami gautas reikšmes paskutine S išraiška, gauname gerai žinomą formulę:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Vienetai

Taikomi sisteminiai ir nesisteminiai matavimo vienetai. Sistemos vienetai vadinami SI (System International). Tai yra kvadratinis metras (kvadratinis metras, m²) ir iš jo gaunami vienetai: mm², cm², km².

Pavyzdžiui, kvadratiniais milimetrais (mm²) jie matuoja elektros inžinerijos laidų skerspjūvio plotą, kvadratiniais centimetrais (cm²) - sijos skerspjūvį konstrukcijų mechanikoje, kvadratiniais metrais (m²). ) - butas arba namas, kvadratiniais kilometrais (km²) - teritorija geografiškai .

Tačiau kartais naudojami nesisteminiai matavimo vienetai, tokie kaip: audimas, ar (a), hektaras (ha) ir akras (ac). Pateikiame šiuos santykius:

• 1 pynimas \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 akrų = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 arai = 0,405 ha.