Kaip rasti liestinės plokštumos ir paviršiaus normaliojo tam tikrame taške lygtis? Plokštuma liestinė su paviršiumi

Būtent apie tai, ką matote pavadinime. Iš esmės tai yra „erdvinis analogas“ liestinės radimo problemos ir normalūsį vieno kintamojo funkcijos grafiką, todėl neturėtų kilti jokių sunkumų.

Pradėkime nuo pagrindinių klausimų: KAS YRA liestinės plokštuma ir KAS YRA normali? Daugelis žino šias sąvokas intuicijos lygiu. Paprasčiausias modelis, kuris ateina į galvą, yra rutulys, ant kurio guli plonas plokščias kartonas. Kartonas yra kuo arčiau sferos ir paliečia jį vienu tašku. Be to, sąlyčio taške jis tvirtinamas adata, smeisiama tiesiai į viršų.

Teoriškai yra gana šmaikštus liestinės plokštumos apibrėžimas. Įsivaizduokite savavališką paviršius ir jai priklausantis taškas. Akivaizdu, kad daug kas praeina per tašką. erdvines linijas kurie priklauso šiam paviršiui. Kas turi kokių asociacijų? =) ... aš asmeniškai pristačiau aštuonkojį. Tarkime, kad kiekviena tokia eilutė turi erdvinė tangentė taške.

1 apibrėžimas: liestinės plokštumaį paviršių taške yra lėktuvas, kuriame yra visų kreivių, priklausančių tam tikram paviršiui ir einančių per tašką, liestinės.

2 apibrėžimas: normalusį paviršių taške yra tiesiai einančios per duotąjį tašką statmenai liestinės plokštumai.

Paprasta ir elegantiška. Beje, kad nemirtumėte iš nuobodulio dėl medžiagos paprastumo, kiek vėliau pasidalinsiu su jumis viena elegantiška paslaptimi, leidžiančia pamiršti apie įvairių apibrėžimų prigrūdimą KARTĄ IR VISAM.

Su darbo formulėmis ir sprendimo algoritmu susipažinsime tiesiogiai konkrečiame pavyzdyje. Daugumoje problemų reikia sudaryti ir liestinės plokštumos, ir normaliosios lygtį:

1 pavyzdys

Sprendimas:jei paviršius pateiktas lygtimi (t. y. netiesiogiai), tada tam tikro paviršiaus liestinės plokštumos taške galima rasti pagal šią formulę:

Ypatingą dėmesį skiriu neįprastiems daliniams dariniams – jų neturėtų būti supainioti su netiesiogiai pateiktos funkcijos dalinės išvestinės (net jei paviršius yra netiesiogiai apibrėžtas). Ieškant šių išvestinių reikia vadovautis trijų kintamųjų funkcijos diferencijavimo taisyklės, tai yra, diferencijuojant bet kurį kintamąjį, kitos dvi raidės laikomos konstantomis:

Nenukrypdami nuo kasos, dalinę išvestinę randame taške:

Panašiai:

Tai buvo pats nemaloniausias sprendimo momentas, kuriame nuolat įsivaizduojama klaida, jei neleidžiama. Tačiau čia yra veiksminga patikrinimo technika, apie kurią kalbėjau pamokoje. Krypties išvestinė ir gradientas.

Visi „ingredientai“ buvo rasti, o dabar belieka atidžiai juos pakeisti papildomais supaprastinimais:

– bendroji lygtis norima liestinės plokštuma.

Primygtinai rekomenduoju patikrinti šį sprendimo etapą. Pirmiausia turite įsitikinti, kad prisilietimo taško koordinatės tikrai atitinka rastą lygtį:

- tikra lygybė.

Dabar "pašaliname" koeficientus bendroji lygtis plokštumoje ir patikrinkite, ar jos sutampa arba proporcingos atitinkamoms reikšmėms. Šiuo atveju jie yra proporcingi. Kaip prisimenate iš analitinės geometrijos kursas, - Tai normalus vektorius liestinės plokštuma, o jis - kreipiamasis vektorius normali tiesi linija. Kurkime kanonines lygtis normaliosios vertės pagal tašką ir krypties vektorių:

Iš esmės vardiklius galima sumažinti „du“, tačiau tam nėra ypatingo poreikio.

Atsakymas:

Nedraudžiama lygtis žymėti kai kuriomis raidėmis, tačiau vėlgi – kodėl? Čia ir taip labai aišku, kas yra kas.

Toliau pateikti du pavyzdžiai skirti nepriklausomam sprendimui. Mažas „matematinis liežuvio suktuvas“:

2 pavyzdys

Raskite taško paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis.

Ir užduotis įdomi techniniu požiūriu:

3 pavyzdys

Sudarykite paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis taške

Taške.

Yra visos galimybės ne tik susipainioti, bet ir susidurti su sunkumais rašant. tiesės kanoninės lygtys. O normaliosios lygtys, kaip tikriausiai supratote, dažniausiai rašomos tokia forma. Nors dėl užmaršumo ar kai kurių niuansų nežinojimo parametrinė forma yra daugiau nei priimtina.

Apdailos sprendimų pavyzdžiai pamokos pabaigoje.

Ar bet kuriame paviršiaus taške yra liestinės plokštuma? Apskritai, žinoma, ne. Klasikinis pavyzdys yra kūginis paviršius ir taškas - liestinės šiame taške tiesiogiai sudaro kūginį paviršių ir, žinoma, nėra toje pačioje plokštumoje. Nesupratimą patikrinti lengva ir analitiškai: .

Kitas problemų šaltinis yra faktas neegzistavimas tam tikra dalinė išvestinė taške. Tačiau tai nereiškia, kad tam tikrame taške nėra vienos liestinės plokštumos.

Tačiau tai buvo veikiau mokslas, o ne praktiškai reikšminga informacija, ir grįžtame prie aktualių dalykų:

Kaip parašyti liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis taške,
jei paviršius suteikiamas eksplicitine funkcija?

Netiesiogiai perrašykime:

Ir pagal tuos pačius principus randame dalinius išvestinius:

Taigi liestinės plokštumos formulė transformuojama į tokią lygtį:

Ir atitinkamai kanoninės normaliosios lygtys:

Kaip nesunku atspėti - tai tikra" dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės taške , kurį žymėjome raide "Z" ir radome 100500 kartų.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame straipsnyje pakanka prisiminti pačią pirmąją formulę, iš kurios, jei reikia, lengva išvesti visa kita. (žinoma, turint bazinis lygis mokymas). Būtent toks požiūris turėtų būti taikomas studijuojant tiksliuosius mokslus, t.y. iš minimalios informacijos reikėtų stengtis „ištraukti“ maksimalias išvadas ir pasekmes. „Soobrazhalovka“ ir jau turimos žinios padės! Šis principas naudingas ir tuo, kad labai tikėtina, kad jis išgelbės jus kritinėje situacijoje, kai žinote labai mažai.

Išsiaiškinkime „modifikuotas“ formules su keliais pavyzdžiais:

4 pavyzdys

Sudarykite paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis taške.

Čia pasirodė maža perdanga su simboliais - dabar raidė žymi plokštumos tašką, bet ką daryti - tokia populiari raidė ....

Sprendimas: sudarysime norimos liestinės plokštumos lygtį pagal formulę:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę taške:

Apskaičiuokite I eilės daliniai vediniaiŠiuo atveju:

Taigi:

atsargiai, neskubėkite:

Parašykime normaliosios kanonines lygtis taške:

Atsakymas:

Ir paskutinis „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Sudarykite taško paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis.

Paskutinis yra todėl, kad iš tikrųjų aš išaiškinau visus techninius punktus ir nėra nieko ypatingo. Netgi šioje užduotyje siūlomos funkcijos yra blankios ir monotoniškos – beveik garantuota, kad praktiškai susidursite su „polinomu“, o šia prasme pavyzdys Nr. 2 su eksponentu atrodo kaip „juodoji avis“. Beje, daug labiau tikėtina, kad jis atitiks lygties pateiktą paviršių, ir tai yra dar viena priežastis, kodėl funkcija straipsnyje buvo įtraukta kaip „antrasis skaičius“.

Ir pabaigai – pažadėta paslaptis: taigi, kaip išvengti apibrėžimų prigrūdimo? (žinoma, aš neturiu galvoje situacijos, kai studentas karštligiškai kemša kažką prieš egzaminą)

Bet kurios sąvokos/reiškinio/objekto apibrėžimas, visų pirma, duoda atsakymą į tokį klausimą: KAS TAI YRA? (kas/toks/toks/toks). Sąmoningai Atsakydami į šį klausimą turėtumėte pabandyti apmąstyti reikšmingasženklai, būtinai identifikuojant tą ar kitą sąvoką/reiškinį/objektą. Taip, iš pradžių jis pasirodo kiek užkalbintas, netikslus ir perteklinis (mokytojas pataisys =)), tačiau laikui bėgant išsivysto visai verta mokslinė kalba.

Pavyzdžiui, praktikuokite abstrakčiausius objektus, atsakykite į klausimą: kas yra Čeburaška? Tai nėra taip paprasta ;-) Ar tai „pasakų personažas didelėmis ausimis, akimis ir rudais plaukais“? Toli ir labai toli nuo apibrėžimo – niekada nežinai, kad yra tokių savybių turinčių veikėjų... Bet tai daug arčiau apibrėžimo: „Čeburaška yra rašytojo Eduardo Uspenskio 1966 m. sugalvotas personažas, kuris ... (išvardijant pagrindinius skiriamieji ženklai)» . Atkreipkite dėmesį į tai, kaip gerai prasidėjo

Paviršius apibrėžiamas kaip taškų, kurių koordinatės atitinka tam tikro tipo lygtį, rinkinys:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Jei funkcija F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) yra ištisinis tam tikru tašku ir jame turi ištisinių dalinių išvestinių, iš kurių bent viena neišnyksta, tada šalia šio taško (1) lygties nurodytas paviršius bus teisingas paviršius.

Be pirmiau minėtų numanomas nustatymo būdas, paviršius gali būti apibrėžtas aiškiai, jei vienas iš kintamųjų, pavyzdžiui, z, gali būti išreikštas kitais:

z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Griežčiau, lygus paviršius yra vienetinio kvadrato interjero homeomorfinio atvaizdavimo (tai yra vienas su vienu ir abipusiai nenutrūkstamo kartografavimo) vaizdas. Šiam apibrėžimui galima suteikti analitinę išraišką.

Plokštumoje su stačiakampe koordinačių sistema u ir v duotas kvadratas, kurio vidinių taškų koordinatės tenkina nelygybes 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Pavyzdys paprastas paviršius yra pusrutulis. Visa teritorija nėra lygus paviršius. Dėl to reikia toliau apibendrinti paviršiaus sąvoką.

Erdvės poaibis, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę, kuri yra lygus paviršius, vadinamas teisingas paviršius .

Paviršius diferencialinėje geometrijoje

Helicoid

katenoidas

Metrika vienareikšmiškai nenustato paviršiaus formos. Pavyzdžiui, sraigto ir katenoido metrika, tinkamai parametrizuota, sutampa, tai yra, tarp jų sričių yra atitikimas, išsaugantis visus ilgius (izometrija). Savybės, kurios išsaugomos atliekant izometrines transformacijas, vadinamos vidinė geometrija paviršiai. Vidinė geometrija nepriklauso nuo paviršiaus padėties erdvėje ir nekinta jį lenkiant be įtempimo ir suspaudimo (pavyzdžiui, kai cilindras sulenktas į kūgį).

Metriniai koeficientai E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) nustatyti ne tik visų kreivių ilgius, bet apskritai visų paviršiaus viduje atliktų matavimų (kampų, plotų, kreivumo ir kt.) rezultatus. Todėl viskas, kas priklauso tik nuo metrikos, reiškia vidinę geometriją.

Normalus ir normalus skyrius

Normalieji vektoriai paviršiaus taškuose

Viena iš pagrindinių paviršiaus savybių yra jo normalus- vieneto vektorius, statmenas liestinės plokštumai tam tikrame taške:

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Normalo ženklas priklauso nuo koordinačių pasirinkimo.

Paviršiaus pjūvis plokštuma, kurioje yra paviršiaus normalioji tam tikrame taške, sudaro tam tikrą kreivę, kuri vadinama normalus skyrius paviršiai. Pagrindinis normalios atkarpos normalus sutampa su normaliu paviršiui (iki ženklo).

Jei paviršiaus kreivė nėra normali pjūvis, tada jos pagrindinė normalioji sudaro kampą su paviršiaus normalia θ (\displaystyle \theta ). Tada kreivumas k (\displaystyle k) kreivė yra susijusi su kreivumu k n (\displaystyle k_(n)) normalioji atkarpa (su ta pačia liestine) Meunier formulė:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Normaliosios vektoriaus koordinatės Skirtingi keliai Paviršiaus užduotys pateiktos lentelėje:

	Normalios koordinatės paviršiaus taške
numanomas priskyrimas	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(()) \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
aiškus pavedimas	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f)) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\)) dalinė x))\dešinė)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
parametrinė užduotis	(D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x, y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\frac (\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\dešinė)^(2))))

čia D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ pradžia(vmatrica)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Visos išvestinės imamos taške (x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Kreivumas

Skirtingoms kryptims tam tikrame paviršiaus taške gaunamas skirtingas normalios pjūvio kreivumas, kuris vadinamas normalus kreivumas; priskiriamas pliuso ženklas, jei kreivės pagrindinė normalioji eina ta pačia kryptimi, kaip ir normalioji į paviršių, arba minuso ženklas, jei normaliųjų kryptys yra priešingos.

Paprastai tariant, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys e 1 (\displaystyle e_(1)) ir e 2 (\displaystyle e_(2)), kuriame normalus kreivumas įgauna mažiausią ir didžiausią reikšmes; šios kryptys vadinamos pagrindinis. Išimtis yra atvejis, kai normalus kreivumas yra vienodas visomis kryptimis (pavyzdžiui, šalia sferos arba apsisukimo elipsoido pabaigoje), tada visos kryptys taške yra pagrindinės.

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centru) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Įprasti kreiviai pagrindinėmis kryptimis vadinami pagrindiniai išlinkimai; pažymėkime juos κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) ir κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Dydis:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

vadinamas Gauso kreivumu, visuminiu kreivumu arba tiesiog paviršiaus kreivumu. Taip pat yra terminas kreivumo skaliarinis, o tai reiškia kreivio tenzoriaus konvoliucijos rezultatą; šiuo atveju kreivumo skaliaras yra du kartus didesnis už Gauso kreivumą.

Gauso kreivumą galima apskaičiuoti naudojant metriką, todėl jis yra vidinės paviršių geometrijos objektas (atkreipkite dėmesį, kad pagrindiniai kreivai nepriklauso vidinei geometrijai). Pagal kreivumo ženklą galite klasifikuoti paviršiaus taškus (žr. pav.). Plokštumos kreivumas lygus nuliui. R spindulio rutulio kreivumas visur lygus 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Taip pat yra nuolatinio neigiamo kreivumo paviršius -

Liečiamosios plokštumos vaidina didelį vaidmenį geometrijoje. Liečiamųjų plokštumų konstrukcija praktiškai yra svarbi, nes jų buvimas leidžia nustatyti normalios krypties į paviršių sąlyčio taške. Ši problema plačiai naudojama inžinerinėje praktikoje. Liečiamosios plokštumos taip pat naudojamos geometrinių figūrų, apribotų uždarais paviršiais, eskizams konstruoti. Teoriškai plokštumos, liečiančios paviršių, naudojamos diferencialinėje geometrijoje paviršiaus savybėms tirti liestinės taško srityje.

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Paviršiaus liestinė turėtų būti laikoma ribine sekantinės plokštumos padėtimi (panašiai į kreivės liestinę, kuri taip pat apibrėžiama kaip ribinė sekanto padėtis).

Paviršiaus plokštumos liestinė tam tikrame paviršiaus taške yra visų tiesių rinkinys – liestinės, nubrėžtos į paviršių per tam tikrą tašką.

Diferencialinėje geometrijoje įrodyta, kad visos įprastame taške nubrėžto paviršiaus liestinės yra lygiagrečios (priklauso tai pačiai plokštumai).

Išsiaiškinkime, kaip nubrėžiama paviršiaus liestinė. Paviršiaus β liestinė t taške M, pateiktame paviršiuje (203 pav.), reiškia ribinę sekanto l j padėtį, kertančią paviršių dviejuose taškuose (MM 1, MM 2, ..., MM n), kai susikirtimo taškai sutampa (M ≡ M n , l n ≡ l M). Akivaizdu, kad (M 1 , M 2 , ..., M n ) ∈ g, nes g ⊂ β. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia toks apibrėžimas: paviršiaus liestinė yra bet kurios paviršiui priklausančios kreivės linijos liestinė.

Kadangi plokštumą apibrėžia dvi susikertančios tiesės, tam, kad tam tikrame taške būtų nustatyta paviršiaus liestinė, pakanka per šį tašką nubrėžti dvi savavališkas paviršiui priklausančias linijas (geriausia paprastos formos) ir nubrėžti liestinės kiekvienas iš jų šių linijų susikirtimo taške . Sudarytos liestinės vienareikšmiškai nustato liestinės plokštumą. Vaizdinis plokštumos α, liečiančios paviršių β tam tikrame taške M, laikymo vaizdas pateiktas Fig. 204. Šis paveikslas taip pat rodo normalųjį n paviršiui β.

Paviršiaus normalioji tam tikrame taške yra tiesi linija, statmena liestinės plokštumai ir einanti per sąlyčio tašką.

Paviršiaus susikirtimo su plokštuma, einančia per normaliąją, linija vadinama normaliąja paviršiaus pjūviu. Priklausomai nuo paviršiaus tipo, liestinės plokštumos paviršiuje gali būti vienas arba daug taškų (linijos). Sąlyčio linija kartu gali būti ir paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija.

Taip pat pasitaiko atvejų, kai paviršiuje yra taškų, kur neįmanoma nubrėžti paviršiaus liestinės; tokie taškai vadinami vienaskaita. Kaip vienaskaitos taškų pavyzdį galima pateikti taškus, priklausančius liemens paviršiaus smaigaliui arba sukimosi paviršiaus dienovidinio susikirtimo taškui su jo ašimi, jei dienovidinis ir ašis nesikerta dešinėje. kampu.

Kontaktų tipai priklauso nuo paviršiaus kreivumo pobūdžio.

paviršiaus kreivumas

Paviršiaus kreivumo klausimus nagrinėjo prancūzų matematikas F. Dupinas (1784-1873), pasiūlęs vizualų būdą, kaip pavaizduoti normalių paviršiaus pjūvių kreivumo pokyčius.

Norėdami tai padaryti, plokštumoje, liečiančioje nagrinėjamą paviršių taške M (205, 206 pav.), normalių ruožų liestinėse abiejose šio taško pusėse atkarpos nubraižomos, lygios reikšmių kvadratinėms šaknims. atitinkamus šių ruožų kreivumo spindulius. Taškų rinkinys – atkarpų galai nusako kreivę, vadinamą Dupino indikatorius. Dupino rodiklio konstravimo algoritmą (205 pav.) galima parašyti:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

kur R yra kreivio spindulys.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) yra Dupino rodiklis.

Jei paviršiaus Dupino indikatorius yra elipsė, tai taškas M vadinamas elipsiniu, o paviršius vadinamas paviršiumi su elipsiniais taškais.(206 pav.). Šiuo atveju liestinės plokštuma turi tik vieną bendrą tašką su paviršiumi, o visos paviršiui priklausančios ir nagrinėjamame taške susikertančios tiesės yra toje pačioje liestinės plokštumos pusėje. Paviršių su elipsiniais taškais pavyzdys yra: apsisukimo paraboloidas, apsisukimo elipsoidas, sfera (šiuo atveju Dupino indikatorius yra apskritimas ir kt.).

Piešiant liemens plokštumą, plokštuma liesis šį paviršių išilgai tiesios generatrix. Šios linijos taškai vadinami parabolinis, o paviršius yra paviršius su paraboliniais taškais. Dupino indikatorius šiuo atveju yra dvi lygiagrečios linijos (207* pav.).

Ant pav. 208 parodytas paviršius, susidedantis iš taškų, kuriuose

* Antros eilės kreivė – parabolė – tam tikromis sąlygomis gali suskaidyti į dvi realias lygiagrečias tieses, dvi įsivaizduojamas lygiagrečias linijas, dvi sutampančius tieses. Ant pav. 207 turime reikalą su dviem realiomis lygiagrečiomis tiesėmis.

Laisva liestinės plokštuma kerta paviršių. Toks paviršius vadinamas hiperbolinis, ir jam priklausantys taškai - hiperboliniai taškai. Dupino indikatorius šiuo atveju yra hiperbolė.

Paviršius, kurio visi taškai yra hiperboliniai, turi balno formą (įstriža plokštuma, vieno lakšto hiperboloidas, įgaubti sukimosi paviršiai ir kt.).

Viename paviršiuje gali būti taškų skirtingi tipai, pavyzdžiui, ties liemens paviršiumi (209 pav.) taškas M yra elipsės formos; taškas N – parabolinis; taškas K yra hiperbolinis.

Atliekant diferencialinę geometriją įrodyta, kad normalios pjūviai, kurių kreivės reikšmės K j = 1/ R j (kur R j yra nagrinėjamos pjūvio kreivio spindulys), turi kraštutines reikšmes, yra dviejose viena kitai statmenos plokštumos.

Tokie kreivumai K 1 = 1/R max. K 2 \u003d 1 / R min vadinami pagrindiniais, o H \u003d (K 1 + K 2) / 2 ir K \u003d K 1 K 2 reikšmės - atitinkamai vidutinis kreivumas. paviršius ir bendras (Gauso) paviršiaus kreivumas nagrinėjamame taške. Elipsiniams taškams K > 0, hiperbolinis K

Paviršiaus liestinės plokštumos nustatymas Monge diagramoje

Žemiau konkrečių pavyzdžių parodykime plokštumos, liečiančios paviršių su elipsiniu (1 pavyzdys), paraboliniu (2 pavyzdys) ir hiperboliniu (3 pavyzdys) taškais, konstrukciją.

PAVYZDYS 1. Sukurkite plokštumą α, liečiančią apsisukimo β paviršių, su elipsiniais taškais. Apsvarstykite du šios problemos sprendimo variantus: a) tašką M ∈ β ir b) tašką M ∉ β

Variantas a (210 pav.).

Liestinės plokštuma apibrėžiama dviem liestinėmis t 1 ir t 2, nubrėžtomis taške M iki paviršiaus β lygiagretės ir dienovidinio.

Paviršiaus β lygiagrečios h liestinės t 1 projekcijos bus t" 1 ⊥ (S"M") ir t" 1 || x ašis. Paviršiaus β dienovidinio d liestinės t "2 horizontalioji projekcija, einanti per tašką M, sutaps su dienovidinio horizontalia projekcija. Norėdami rasti liestinės t frontalinę projekciją" 2, dienovidinio plokštuma γ (γ ∋ M), sukant aplink paviršiaus ašį β perkeliama į γ 1 padėtį, lygiagrečią plokštumai π 2 . Šiuo atveju taškas M → M 1 (M "1, M" 1). Liestinės t "2 rarr; t" 2 1 projekcija nustatoma pagal (M "1 S"). Jei dabar grąžinsime plokštumą γ 1 į pradinę padėtį, tai taškas S "liks savo vietoje (kaip priklausantis sukimosi ašiai), o M" 1 → M "ir liestinės t frontalioji projekcija 2 išliks būti nustatytas (M "S")

Dvi liestinės t 1 ir t 2, susikertančios taške M ∈ β, apibrėžia plokštumą α, liečiančią paviršių β.

Variantas b (211 pav.)

Norint sudaryti plokštumos liestinę paviršiui, einančiam per tašką, kuris nepriklauso paviršiui, reikia vadovautis šiais svarstymais: per tašką, esantį už paviršiaus, susidedantį iš elipsinių taškų, galima nubrėžti daug plokštumų, liečiančių paviršių. Šių paviršių apvalkalas bus tam tikras kūgio formos paviršius. Todėl, jei nėra papildomų nuorodų, tada problema turi daug sprendimų ir šiuo atveju redukuojasi iki kūginio paviršiaus γ liestinės nubrėžimo duotam paviršiui β.

Ant pav. 211 parodyta kūginio paviršiaus γ, liečiančio sferą β, konstrukcija. Bet kuri kūginio paviršiaus γ liestinė α bus paviršiaus β liestinė.

Norėdami sukurti paviršiaus γ projekcijas iš taškų M "ir M", brėžiame apskritimų h "ir f" liestinės - sferos projekcijas. Pažymėkite lietimo taškus 1 (1" ir 1"), 2 (2" ir 2"), 3 (3" ir 3") ir 4 (4" ir 4"). Horizontali apskritimo projekcija – kūginio paviršiaus ir rutulio sąlyčio linija projektuojama į [ 1 "2"] Norėdami rasti elipsės taškus, į kuriuos šis apskritimas projektuojamas į priekinę projekcijų plokštumą, naudosime sferos paralelės.

Ant pav. 211 apibrėžiami taip priekinės projekcijos taškai E ir F (E "ir F"). Turėdami kūginį paviršių γ, sukonstruojame jam liestinę α. Grafikos pobūdis ir seka

Kai kurios konstrukcijos, kurias reikia atlikti, parodytos kitame pavyzdyje.

2 PAVYZDYS Sukurkite paviršiaus β liestinę α su paraboliniais taškais

Kaip ir 1 pavyzdyje, apsvarstykite du sprendimus: a) taškas N ∈ β; b) taškas N ∉ β

A variantas (ryžiai 212).

Kūginis paviršius reiškia paviršius su paraboliniais taškais (žr. 207 pav.) Kūginio paviršiaus liestinė plokštuma liečia jį išilgai tiesinės generatricos.Norėdami jį sukurti, turite:

1) nubrėžkite generatorių SN (S"N" ir S"N") per nurodytą tašką N;

2) kreipikliu d pažymėkite generatoriaus (SN) susikirtimo tašką: (SN) ∩ d = A;

3) taške A nubrėžkite t ir d liestinę.

Generatorius (SA) ir jį kertanti liestinė t apibrėžia kūginio paviršiaus β liestinę α duotame taške N*.

Nubrėžti kūginio paviršiaus liestinę α β, kertančią tašką N, nepriklauso

* Kadangi paviršius β susideda iš parabolinių taškų (išskyrus viršūnę S), tai plokštuma α su juo liestinės turės ne vieną tašką N, o tiesę (SN).

spaudžiant tam tikrą paviršių, būtina:

1) per duotą kūginio paviršiaus β tašką N ir viršūnę S nubrėžkite tiesę a (a "ir a");

2) nustatyti šios tiesės horizontalųjį pėdsaką H a ;

3) nubrėžti kreivės h 0β liestinės t "1 ir t" 2 per H a - kūginio paviršiaus horizontalųjį pėdsaką;

4) sujunkite liestinės taškus A (A "ir A") ir B (B "ir B") su kūginio paviršiaus S viršumi (S "ir S").

Susikertančios tiesės t 1 , (AS) ir t 2 , (BS) apibrėžia norimas liestinės plokštumas α 1 ir α 2

3 PAVYZDYS. Sukurkite paviršiaus β liestinę α su hiperboliniais taškais.

Taškas K (214 pav.) yra globoido paviršiuje (vidiniame žiedo paviršiuje).

Norint nustatyti liestinės plokštumos α padėtį, būtina:

1) per tašką K nubrėžkite lygiagretę su paviršiumi β h(h", h");

2) nubrėžkite liestinę per tašką K" t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) dienovidinio pjūvio liestinės projekcijų kryptims nustatyti reikia per tašką K ir paviršiaus ašį nubrėžti plokštumą γ, horizontali projekcija t "2 sutaps su h 0γ; statyti liestinės t" 2 frontalią projekciją, pirmiausia perkeliame plokštumą γ, sukdami ją aplink sukimosi paviršiaus ašį į padėtį γ 1 || π 2 . Šiuo atveju dienovidinio pjūvis plokštuma γ sutaps su kairiuoju priekinės projekcijos kontūro lanku - puslankiu g".

Taškas K (K, K"), priklausantis dienovidinio atkarpos kreivei, pasislinks į padėtį K 1 (K" 1, K" 1). Per K" 1 nubrėžiame priekinę liestinės t" 2 1 projekciją, sulygiuotą su plokštuma γ 1 || π 2 padėtį ir pažymėkite jos susikirtimo tašką su priekine sukimosi ašies projekcija S "1. Grąžiname plokštumą γ 1 į pradinę padėtį, taškas K" 1 → K "(taškas S" 1 ≡ S ") . Liestinės t" 2 frontalioji projekcija nustatoma taškais K" ir S".

Liestinės t 1 ir t 2 apibrėžia norimą liestinės plokštumą α, kuri kerta paviršių β išilgai kreivės l .

PAVYZDYS 4. Taške K pastatykite paviršiaus β liestinę α. Taškas K yra vieno lapo sukimosi hiperboloido paviršiuje (215 pav.).

Šią problemą galima išspręsti vadovaujantis ankstesniame pavyzdyje naudotu algoritmu, tačiau atsižvelgiant į tai, kad vieno lapo sukimosi hiperboloido paviršius yra valdomas paviršius, turintis dvi tiesių generatorių šeimas, o kiekvienas iš vienos šeimos generatorių kerta visus kitos šeimos generatorius (žr. § 32, 138 pav.). Per kiekvieną šio paviršiaus tašką galima nubrėžti dvi susikertančias tiesias linijas – generatorius, kurie vienu metu liesis vieno lapo revoliucijos hiperboloido paviršių.

Šios liestinės apibrėžia liestinės plokštumą, ty plokštuma, liečianti vieno lapo sukimosi hiperboloido paviršių, kerta šį paviršių išilgai dviejų tiesių g 1 ir g 2 . Norint sudaryti šių tiesių projekcijas, pakanka naudoti taško K horizontaliąją projekciją, kad liestinės t "1 ir t" 2 būtų perkeltos į horizontalę.

apskritimo projekcija d "2 - vienalapio sukimosi hiperboloido paviršiaus gerklė; nustatykite taškus 1" ir 2, kuriuose t "1 ir t" 2 kerta vieną iš paviršiaus kreiptuvų d 1. Iš 1" ir 2" randame 1" ir 2", kurie kartu su K nustato norimų linijų frontalines projekcijas.

Tam tikru momentu ir turi ištisines dalines išvestines, iš kurių bent viena neišnyksta, tada šalia šio taško paviršius, nurodytas lygtimi (1) teisingas paviršius.

Be pirmiau minėtų numanomas nustatymo būdas Paviršius gali būti apibrėžtas aiškiai, jei vienas iš kintamųjų, pavyzdžiui, z, gali būti išreikštas kitais:

Taip pat egzistuoja parametrinis priskyrimo metodas. Šiuo atveju paviršius nustatomas pagal lygčių sistemą:

Paprasto paviršiaus samprata

Tiksliau, lygus paviršius yra vienetinio kvadrato interjero homeomorfinio atvaizdavimo (tai yra vienas su vienu ir abipusiai nenutrūkstamo kartografavimo) vaizdas. Šiam apibrėžimui galima suteikti analitinę išraišką.

Plokštumoje su stačiakampe koordinačių sistema u ir v duotas kvadratas, kurio vidinių taškų koordinatės tenkina nelygybes 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Pavyzdys paprastas paviršius yra pusrutulis. Visa teritorija nėra lygus paviršius. Dėl to reikia toliau apibendrinti paviršiaus sąvoką.

Erdvės poaibis, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę, kuri yra lygus paviršius, vadinamas teisingas paviršius .

Paviršius diferencialinėje geometrijoje

Helicoid

katenoidas

Metrika vienareikšmiškai nenustato paviršiaus formos. Pavyzdžiui, sraigto ir katenoido metrika, tinkamai parametrizuota, sutampa, tai yra, tarp jų sričių yra atitikimas, išsaugantis visus ilgius (izometrija). Savybės, kurios išsaugomos atliekant izometrines transformacijas, vadinamos vidinė geometrija paviršiai. Vidinė geometrija nepriklauso nuo paviršiaus padėties erdvėje ir nekinta jį lenkiant be įtempimo ir suspaudimo (pavyzdžiui, kai cilindras sulenktas į kūgį).

Metriniai koeficientai nustato ne tik visų kreivių ilgius, bet apskritai visų paviršiaus viduje atliekamų matavimų (kampų, plotų, kreivumo ir kt.) rezultatus. Todėl viskas, kas priklauso tik nuo metrikos, reiškia vidinę geometriją.

Normalus ir normalus skyrius

Normalieji vektoriai paviršiaus taškuose

Viena iš pagrindinių paviršiaus savybių yra jo normalus- vieneto vektorius, statmenas liestinės plokštumai tam tikrame taške:

.

Normalo ženklas priklauso nuo koordinačių pasirinkimo.

Paviršiaus pjūvis plokštuma, kurioje yra normalioji (tam tikrame taške), sudaro tam tikrą paviršiaus kreivę, kuri vadinama normalus skyrius paviršiai. Pagrindinis normalios atkarpos normalus sutampa su normaliu paviršiui (iki ženklo).

Jei paviršiaus kreivė nėra normalioji pjūvis, tada jos pagrindinė normalioji sudaro kampą θ su paviršiaus normaliu. Tada kreivumas k kreivė yra susijusi su kreivumu k n normalioji atkarpa (su ta pačia liestine) Meunier formulė:

Normaliojo vektoriaus koordinatės įvairiems paviršiaus nustatymo būdams pateiktos lentelėje:

	Normalios koordinatės paviršiaus taške
numanomas priskyrimas
aiškus pavedimas
parametrinė užduotis

Kreivumas

Skirtingoms kryptims tam tikrame paviršiaus taške gaunamas skirtingas normalios pjūvio kreivumas, kuris vadinamas normalus kreivumas; priskiriamas pliuso ženklas, jei kreivės pagrindinė normalioji eina ta pačia kryptimi, kaip ir normalioji į paviršių, arba minuso ženklas, jei normaliųjų kryptys yra priešingos.

Paprastai tariant, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys e 1 ir e 2 , kuriame normalus kreivumas įgauna mažiausią ir didžiausią reikšmes; šios kryptys vadinamos pagrindinis. Išimtis yra atvejis, kai normalus kreivumas yra vienodas visomis kryptimis (pavyzdžiui, šalia sferos arba apsisukimo elipsoido pabaigoje), tada visos kryptys taške yra pagrindinės.

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centru) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Įprasti kreiviai pagrindinėmis kryptimis vadinami pagrindiniai išlinkimai; pažymėkime juos κ 1 ir κ 2 . Dydis:

K= κ 1 κ 2

paskambino Gauso kreivumas, pilnas kreivumas arba tiesiog kreivumas paviršiai. Taip pat yra terminas kreivumo skaliarinis, o tai reiškia kreivio tenzoriaus konvoliucijos rezultatą; šiuo atveju kreivumo skaliaras yra du kartus didesnis už Gauso kreivumą.

Gauso kreivumą galima apskaičiuoti naudojant metriką, todėl jis yra vidinės paviršių geometrijos objektas (atkreipkite dėmesį, kad pagrindiniai kreivai nepriklauso vidinei geometrijai). Pagal kreivumo ženklą galite klasifikuoti paviršiaus taškus (žr. pav.). Plokštumos kreivumas lygus nuliui. R spindulio sferos kreivumas visur lygus . Taip pat yra nuolatinio neigiamo kreivumo paviršius – pseudosfera.

Geodezinės linijos, geodezinis kreivumas

Paviršiaus kreivė vadinama geodezinė linija, arba tiesiog geodezinis, jei visuose jo taškuose pagrindinė kreivės normalioji sutampa su paviršiaus normalia. Pavyzdys: plokštumoje geodezija bus tiesios linijos ir linijų atkarpos, sferoje – didieji apskritimai ir jų atkarpos.

Lygiavertis apibrėžimas: geodezinės linijos pagrindinės normalės projekcija į gretimą plokštumą yra nulinis vektorius. Jei kreivė nėra geodezinė, tada nurodyta projekcija yra nulis; jo ilgis vadinamas geodezinis kreivumas k g kreivė ant paviršiaus. Yra santykis:

,

kur k yra šios kreivės kreivė, k n- jo normalios pjūvio kreivumas su ta pačia liestine.

Geodezinės linijos nurodo vidinę geometriją. Mes išvardijame pagrindines jų savybes.

• Per tam tikrą paviršiaus tašką tam tikra kryptimi eina vienas ir tik vienas geodezinis.
• Pakankamai mažame paviršiaus plote du taškus visada galima sujungti geodeziniu būdu, be to, tik vieną. Paaiškinimas: sferoje priešingus polius jungia begalinis meridianų skaičius, o du artimi taškai gali būti sujungti ne tik atkarpa puikus ratas, bet ir savo papildymu visą ratą, todėl išskirtinumas pastebimas tik mažame.
• Geodezinis yra trumpiausias. Tiksliau: ant nedidelio paviršiaus gabalėlio trumpiausias kelias tarp nurodytų taškų eina palei geodezinį tašką.

Kvadratas

Kitas svarbus paviršiaus atributas yra jo kvadratas, kuris apskaičiuojamas pagal formulę:

Koordinatėse gauname:

	aiškus pavedimas	parametrinė užduotis
ploto išraiška

Turėkime paviršių, pateiktą formos lygtimi

Pateikiame tokį apibrėžimą.

Apibrėžimas 1. Tiesi linija vadinama paviršiaus liestine tam tikrame taške, jei ji yra

liečianti kokią nors kreivę , esančią ant paviršiaus ir einančios per tašką .

Kadangi per tašką P eina begalinis skaičius skirtingų paviršiuje esančių kreivių, paprastai bus begalinis paviršiaus, einančio per šį tašką, liestinių rinkinys.

Supažindinkime su vienaskaitos ir paprastųjų paviršiaus taškų samprata

Jei taške visos trys išvestinės yra lygios nuliui arba bent vienos iš šių išvestinių nėra, tai taškas M vadinamas singuliariuoju paviršiaus tašku. Jeigu taške egzistuoja ir yra tolydžios visos trys išvestinės, o bent viena iš jų skiriasi nuo nulio, tai taškas M vadinamas paprastu paviršiaus tašku.

Dabar galime suformuluoti tokią teoremą.

Teorema. Visos tam tikro paviršiaus (1) liestinės linijos, esančios jo įprastame taške P, yra toje pačioje plokštumoje.

Įrodymas. Panagrinėkime tam tikrą paviršiaus tiesę L (206 pav.), einančią per tam tikrą paviršiaus tašką P. Tegu nagrinėjamą kreivę pateikia parametrinės lygtys

Kreivės liestinė bus paviršiaus liestinė. Šios liestinės lygtys turi formą

Jei išraiškos (2) pakeičiamos į (1) lygtį, tai ši lygtis tampa tapatybe t atžvilgiu, nes kreivė (2) yra ant (1) paviršiaus. Atskirdami jį atsižvelgiant į tai, ką gauname

Šio vektoriaus projekcijos priklauso nuo - taško Р koordinačių; atkreipkite dėmesį, kad kadangi taškas P yra įprastas, šios projekcijos taške P neišnyksta vienu metu, todėl

kreivės, einančios per tašką P ir gulinčios ant paviršiaus, liestinė. Šio vektoriaus projekcijos apskaičiuojamos remiantis (2) lygtimis, kurių parametro t reikšmė atitinka tašką Р.

Apskaičiuokite skaliarinis produktas vektoriai N ir kuri yra lygi to paties pavadinimo projekcijų sandaugų sumai:

Remiantis lygybe (3), išraiška dešinėje yra lygi nuliui, todėl

Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad LG vektorius ir kreivės (2) liestinės vektorius taške P yra statmeni. Aukščiau pateiktas samprotavimas galioja bet kuriai kreivei (2), kertančiai tašką P ir gulinčiam ant paviršiaus. Vadinasi, kiekviena paviršiaus liestinė taške P yra statmena tam pačiam vektoriui N, todėl visos šios liestinės yra toje pačioje plokštumoje, statmenoje vektoriui LG. Teorema įrodyta.

Apibrėžimas 2. Plokštuma, kurioje yra visos liestinės tiesės, esančios paviršiuje, einančios per jos duotąjį tašką P, vadinama paviršiaus liestine taške P (207 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad liestinės plokštumos gali nebūti atskiruose paviršiaus taškuose. Tokiuose taškuose paviršiaus liestinės linijos gali būti ne vienoje plokštumoje. Taigi, pavyzdžiui, kūginio paviršiaus viršūnė yra vienaskaitos taškas.

Kūginio paviršiaus liestinės šioje vietoje nėra toje pačioje plokštumoje (jos pačios sudaro kūginį paviršių).

Paviršiaus (1) liestinės plokštumos lygtį užrašykime įprastame taške. Kadangi ši plokštuma yra statmena vektoriui (4), tai jos lygtis turi tokią formą

Jei paviršiaus lygtis pateikiama forma arba liestinės plokštumos lygtis šiuo atveju įgauna formą

komentuoti. Jei formulėje (6) nustatome , tada ši formulė įgis formą

jo dešinioji pusė yra visas funkcijos skirtumas. Vadinasi,. Taigi, dviejų kintamųjų funkcijos suminis skirtumas taške, atitinkančiame nepriklausomų kintamųjų x ir y prieaugius, yra lygus atitinkamam liestinės plokštumos pritaikymo paviršiui prieaugiui, kuris yra šios funkcijos grafikas.

Apibrėžimas 3. Tiesi linija, nubrėžta per paviršiaus (1) tašką, statmeną liestinės plokštumai, vadinama paviršiaus normaliąja (207 pav.).