Raskite bendrąją plokštumos, einančios per taškus, lygtį. Plokštumos lygtis: kaip sudaryti? Plokštuminių lygčių tipai

Tegul reikia rasti lygtį plokštumos, einančios per tris duotus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje. Jų spindulio vektorius pažymėdami , o esamą spindulio vektorių galime lengvai gauti norimą lygtį vektorine forma. Iš tiesų, vektoriai turi būti lygiagrečiai (jie visi yra norimoje plokštumoje). Todėl šių vektorių vektoriaus skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui:

Tai plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, lygtis vektorine forma.

Kreipdamiesi į koordinates, gauname lygtį koordinatėmis:

Jei trys duoti taškai yra toje pačioje tiesėje, vektoriai būtų kolinearūs. Todėl atitinkami paskutinių dviejų determinanto eilučių elementai (18) lygtyje būtų proporcingi, o determinantas būtų identiškai lygus nuliui. Todėl (18) lygtis taptų bet kokių x, y ir z reikšmių tapatybe. Geometriškai tai reiškia, kad per kiekvieną erdvės tašką eina plokštuma, kurioje taip pat yra trys duoti taškai.

Pastaba 1. Tą pačią problemą galima išspręsti nenaudojant vektorių.

Atitinkamai pažymėdami trijų nurodytų taškų koordinates, užrašome bet kurios plokštumos, einančios per pirmąjį tašką, lygtį:

Norint gauti norimos plokštumos lygtį, reikia reikalauti, kad (17) lygtis būtų patenkinta kitų dviejų taškų koordinatėmis:

Iš (19) lygčių reikia nustatyti dviejų koeficientų santykius su trečiuoju ir rastas reikšmes įvesti į (17) lygtį.

Pavyzdys 1. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį.

Plokštumos, einančios per pirmąjį iš šių taškų, lygtis bus tokia:

Sąlygos plokštumai (17) pereiti per du kitus taškus ir pirmąjį tašką:

Antrąją lygtį pridėję prie pirmosios, gauname:

Pakeitę antrąją lygtį, gauname:

Pakeitę (17) lygtį, o ne A, B, C, atitinkamai 1, 5, -4 (joms proporcingi skaičiai), gauname:

2 pavyzdys. Parašykite lygtį plokštumai, einčiai per taškus (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Bet kurios plokštumos, einančios per tašką (0, 0, 0), lygtis bus]

Šios plokštumos perėjimo per taškus (1, 1, 1) ir (2, 2, 2) sąlygos yra šios:

Antrąją lygtį sumažinę 2, matome, kad norint nustatyti du nežinomuosius, santykis turi vieną lygtį su

Iš čia gauname. Dabar vietoj jos vertės pakeisdami plokštumos lygtį, randame:

Tai norimos plokštumos lygtis; tai priklauso nuo savavališko

dydžiai B, C (būtent iš santykio, t. y. yra begalinis skaičius plokštumų, einančių per tris duotus taškus (trys duoti taškai yra vienoje tiesėje).

2 pastaba. Plokštumos nubrėžimo per tris duotus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, problema lengvai išspręsta bendras vaizdas jei naudojate determinantus. Iš tiesų, kadangi (17) ir (19) lygtyse koeficientai A, B, C negali vienu metu būti lygūs nuliui, tai, atsižvelgiant į šias lygtis kaip vienalytė sistema su trimis nežinomaisiais A, B, C rašome būtiną ir pakankamą šios sistemos nulinio sprendinio egzistavimo sąlygą (1 dalis, VI skyrius, § 6):

Išplėsdami šį determinantą pirmosios eilutės elementais, gauname pirmojo laipsnio lygtį esamų koordinačių atžvilgiu, kurią tenkins visų pirma trijų nurodytų taškų koordinatės.

Pastarąjį taip pat galima patikrinti tiesiogiai, jei pakeisime bet kurio iš šių taškų koordinates, o ne į lygtį, parašytą naudojant determinantą. Kairėje pusėje gaunamas determinantas, kuriame arba pirmosios eilutės elementai yra lygūs nuliui, arba yra dvi vienodos eilutės. Taigi, suformuluota lygtis vaizduoja plokštumą, einančią per tris nurodytus taškus.

Šioje medžiagoje analizuosime, kaip rasti plokštumos lygtį, jei žinome trijų skirtingų jos taškų, kurie nėra vienoje tiesėje, koordinates. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti, kas yra stačiakampė koordinačių sistema trimatėje erdvėje. Pirmiausia pristatome pagrindinį šios lygties principą ir parodome, kaip jį panaudoti sprendžiant konkrečias problemas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia turime prisiminti vieną aksiomą, kuri skamba taip:

1 apibrėžimas

Jei trys taškai nesutampa vienas su kitu ir guli ne vienoje tiesėje, tai trimatėje erdvėje per juos eina tik viena plokštuma.

Kitaip tariant, jei turime tris skirtingus taškus, kurių koordinatės nesutampa ir kurių negalima sujungti tiesia linija, tai galime nustatyti per ją einančią plokštumą.

Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą. Pažymėkime jį O x y z . Jame yra trys taškai M su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), kurių negalima sujungti tiesiai linija. Remdamiesi šiomis sąlygomis, galime užrašyti mums reikalingos plokštumos lygtį. Yra du šios problemos sprendimo būdai.

1. Pirmuoju metodu naudojama bendroji plokštumos lygtis. Pažodine forma jis parašytas kaip A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Su juo stačiakampėje koordinačių sistemoje galite nustatyti tam tikrą plokštumą alfa, kuri eina per pirmą duotą tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Pasirodo, normaliosios plokštumos vektorius α turės koordinates A , B , C .

N apibrėžimas

Žinodami normalaus vektoriaus koordinates ir taško, per kurį eina plokštuma, koordinates, galime užrašyti bendrąją šios plokštumos lygtį.

Nuo to mes tęsime toliau.

Taigi pagal uždavinio sąlygas turime norimo taško koordinates (net tris), per kurį eina plokštuma. Norėdami rasti lygtį, turite apskaičiuoti jos normalaus vektoriaus koordinates. Pažymėkite jį n → .

Prisiminkite taisyklę: bet kuris nulinis tam tikros plokštumos vektorius yra statmenas tos pačios plokštumos normaliajam vektoriui. Tada turime, kad n → bus statmenas vektoriams, sudarytiems iš pradinių taškų M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → . Tada n → galime pažymėti kaip M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formos vektorinę sandaugą.

Kadangi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (šių lygybių įrodymai pateikti straipsnyje, skirtame vektoriaus koordinačių skaičiavimui iš taškų koordinačių), tada paaiškėja, kad:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z vienas

Jei apskaičiuosime determinantą, gausime mums reikalingo normaliojo vektoriaus n → koordinates. Dabar galime parašyti lygtį, kurios mums reikia plokštumai, kertančiai tris duotus taškus.

2. Antrasis būdas rasti lygtį, einančią per M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), yra remiantis tokia samprata kaip vektorių complanarumas.

Jei turime taškų aibę M (x, y, z) , tai stačiakampėje koordinačių sistemoje jie apibrėžia plokštumą duotiesiems taškams M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tik tada, jei vektoriai M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ir M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bus lygiagrečiai.

Diagramoje tai atrodys taip:

Tai reikš, kad vektorių M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → mišri sandauga bus lygi nuliui: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , nes tai yra pagrindinė lyginamumo sąlyga: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ir M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Gautą lygtį parašome koordinačių forma:

Apskaičiavę determinantą, galime gauti plokštumos, reikalingos trims taškams, kurie nėra vienoje tiesėje M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z) lygtį. 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iš gautos lygties galite pereiti prie plokštumos lygties segmentais arba į normaliąją plokštumos lygtį, jei to reikalauja problemos sąlygos.

Kitoje pastraipoje pateiksime pavyzdžių, kaip mūsų nurodyti metodai yra įgyvendinami praktiškai.

Plokštumos, einančios per 3 taškus, lygties sudarymo užduočių pavyzdžiai

Anksčiau mes nustatėme du būdus, kurie gali būti naudojami norint rasti norimą lygtį. Pažiūrėkime, kaip jie naudojami sprendžiant problemas ir kada pasirinkti kiekvieną iš jų.

1 pavyzdys

Yra trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, kurių koordinatės M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Parašykite pro juos einančios plokštumos lygtį.

Sprendimas

Mes naudojame abu metodus paeiliui.

1. Raskite dviejų mums reikalingų vektorių koordinates M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Dabar apskaičiuojame jų vektorinę sandaugą. Šiuo atveju determinanto skaičiavimų neaprašysime:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Turime normalųjį plokštumos, kuri eina per tris reikiamus taškus, vektorių: n → = (- 5 , 30 , 2) . Toliau reikia paimti vieną iš taškų, pavyzdžiui, M 1 (- 3 , 2 , - 1) , ir parašyti lygtį plokštumai su vektoriumi n → = (- 5 , 30 , 2) . Gauname: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Tai mums reikalingos plokštumos, kuri eina per tris taškus, lygtis.

2. Mes naudojame kitokį požiūrį. Užrašome lygtį plokštumai su trimis taškais M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tokia forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Čia galite pakeisti duomenis iš problemos būklės. Kadangi x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kaip rezultatas, mes gausime:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 m + 2 z - 73

Gavome reikalingą lygtį.

Atsakymas:- 5x + 30m + 2z - 73 .

O kas, jei pateikti taškai vis tiek yra toje pačioje tiesėje ir mums reikia sudaryti jiems plokštumos lygtį? Čia reikia iš karto pasakyti, kad ši sąlyga nebus visiškai teisinga. Per tokius taškus gali praeiti be galo daug plokštumų, todėl vieno atsakymo apskaičiuoti neįmanoma. Panagrinėkime tokią problemą, kad įrodytume tokios klausimo formuluotės neteisingumą.

2 pavyzdys

Turime stačiakampę koordinačių sistemą 3D erdvėje, kurią sudaro trys taškai, kurių koordinatės yra M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Būtina parašyti lygtį plokštumai, einančia per ją.

Sprendimas

Naudojame pirmąjį metodą ir pradedame skaičiuoti dviejų vektorių M 1 M 2 → ir M 1 M 3 → koordinates. Apskaičiuokime jų koordinates: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

vektorinis produktas bus lygus:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Kadangi M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , tada mūsų vektoriai bus kolineariniai (jei pamiršote šios sąvokos apibrėžimą, perskaitykite straipsnį apie juos). Taigi pradiniai taškai M 1 (5 , - 8 , - 2 ), M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 ( - 1 , 1 , 1) yra toje pačioje tiesėje, o mūsų uždavinys yra begalinis daug variantų atsakymas.

Jei naudosime antrąjį metodą, gausime:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 m. + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iš gautos lygybės taip pat išplaukia, kad duotieji taškai M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) yra toje pačioje tiesėje.

Jei norite rasti bent vieną atsakymą į šią problemą iš daugybės jos parinkčių, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Parašykite tiesės M 1 M 2, M 1 M 3 arba M 2 M 3 lygtį (jei reikia, peržiūrėkite medžiagą apie šį veiksmą).

2. Paimkite tašką M 4 (x 4, y 4, z 4), kuris nėra tiesėje M 1 M 2.

3. Užrašykite lygtį plokštumos, kuri kerta tris skirtingus taškus M 1 , M 2 ir M 4, kurie nėra vienoje tiesėje.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Galima nustatyti Skirtingi keliai(vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Turint tai omenyje, plokštumos lygtis gali turėti Skirtingos rūšys. Taip pat, esant tam tikroms sąlygoms, plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime parašyti bendrąją plokštumos lygtį ir ne tik.

Normalioji lygties forma

Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę koordinačių sistemą XYZ. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus atleistas atspirties taškas A. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jai statmena.

Pažymėkite P savavališką tašką Q=(x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėsime raide p. Vektoriaus α ilgis yra p=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra atitinkamai kampai, susidarantys tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Tam tikro taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovi reikšmė, lygi р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Ši lygtis turi prasmę, kai p=0. Vienintelis dalykas, kad plokštuma P šiuo atveju kirs tašką O (α=0), kuris yra pradžios taškas, o vieneto vektorius Ʋ, atleistas nuo taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, o tai reiškia, kad vektorius Ʋ nustatomas iš ženklo tikslumo. Ankstesnė lygtis yra mūsų P plokštumos lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę duotajai, kuri apibrėžia tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.

Plokštumos lygtys. Ypatingi atvejai

Bendrosios formos lygtis gali būti modifikuojama esant papildomoms sąlygoms. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A lygus 0. Tai reiškia, kad duotoji plokštuma lygiagreti duotai ašiai Ox. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.

Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
• Antra, jei С=0, tai lygtis transformuojama į Ах+Ву+D=0, kas parodys lygiagretumą duotai ašiai Oz.
• Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikštų, kad plokštuma kerta O (kilmę).
• Ketvirta, jei A=B=0, tada lygtis pasikeis į Cz+D=0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
• Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma į Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.

Lygties tipas segmentais

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D yra ne nulis, (0) lygties forma gali būti tokia:

x/a + y/b + z/c = 1,

kuriame a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Gauname rezultatą Verta pažymėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0), o Oz - (0,0,c) .

Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai pavaizduoti plokštumos išsidėstymą nurodytos koordinačių sistemos atžvilgiu.

Normaliosios vektoriaus koordinatės

Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra duotosios plokštumos bendrosios lygties koeficientai, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.

Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma x/a + y/b + z/c = 1, taip pat naudojant bendrąją lygtį, galima užrašyti bet kurio duotosios plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1 /a + 1/b + 1/ Su).

Reikia pažymėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausios yra užduotys, kurias sudaro plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymas, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemos.

Plokštumos lygties vaizdas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju (normaliuoju) duotai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) Oxyz yra pateikti:

• taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.

Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.

Erdvėje pasirenkame bet kurį savavališką tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x, y, z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ spindulio vektorius (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Ortogonalumo sąlygą rašome naudodami skaliarinį sandaugą:

[MₒM, n] = 0.

Kadangi MₒM \u003d r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali būti kitokia. Tam naudojamos skaliarinio sandaugos savybės ir Kairioji pusė lygtys. = -. Jei žymima c, tada bus gauta ši lygtis: - c \u003d 0 arba \u003d c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą į normalią nurodytų taškų spindulio vektorių, priklausančių plokštumai, vektorių.

Dabar galite gauti mūsų plokštumos vektorinės lygties rašymo koordinačių formą = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, o n = A*i+B *j+C*k, turime:

Pasirodo, turime lygtį plokštumai, kertančiai tašką, statmeną normaliajai n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plokštumos lygties vaizdas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma, vaizdas

Apibrėžiame du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴).

Dabar galime sudaryti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per turimus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) yra lygiagrečios duotam vektoriui a.

Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;zz′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.

Taigi, mūsų plokštumos erdvėje lygtis atrodys taip:

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas

Tarkime, kad turime tris taškus: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai tiesei. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tik ji yra vienintelė ir nepakartojama. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′, y′, z′), jos lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Dabar galime sudaryti vienalytę sistemą su nežinomaisiais u, v, w:

Mūsų atvejis x,y arba z yra savavališkas taškas, atitinkantis (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje parodyta lygčių sistema tenkina vektorių N (A, B, C), kuris yra nereikšmingas. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

(1) lygtis, kurią gavome, yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai eina per 3 taškus, ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą, palyginti su pirmosios eilutės elementais. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums iškeltą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas yra erdvinė geometrinė figūra, sudaryta iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:

Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni pagal duotus lėktuvus. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), kuris yra tarp šių plokštumų. Skaliarinis sandauga turi tokią formą:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

būtent todėl

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du (dvikampius) kampus: φ 1 ir φ 2 . Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklais, ty cos φ 1 =-cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelį kampą φ lygtyje cos φ= NN 1 /| N||N 1 | bus pakeistas π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Plokštumos vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra 90 laipsnių. Naudodami aukščiau aprašytą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime teigti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Lygiagrečios yra dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų.

Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, plokštumos P lygtį turite paversti normalia forma:

(ρ,v)=p (p≥0).

Šiuo atveju ρ(x,y,z) yra mūsų taško Q spindulio vektorius, esantis P, p yra statmeno P, kuris buvo atleistas iš nulinio taško, ilgis, v yra vieneto vektorius, esantis a kryptis.

Kai kurio taško Q \u003d (x, y, z), priklausančio P, spindulio vektoriaus ρ-ρº, taip pat tam tikro taško spindulio vektoriaus Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ), skirtumas yra toks. vektorius, kurio projekcijos į v absoliuti reikšmė yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) iki P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Taigi pasirodo

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Taigi rasime gautos išraiškos absoliučią reikšmę, tai yra norimą d.

Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jei duotasis taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, taip pat ir pradžios taškas, tai tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)> р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.

Liestinės plokštuma ir jos lygtis

Paviršiaus liestinė liestinės taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.

Esant tokiai paviršiaus lygties formai F (x, y, z) = 0, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº (xº, yº, zº) atrodys taip:

F x (xº, yº, zº) (x-xº)+ F x (xº, yº, zº) (y-yº)+ F x (xº, yº, zº) (z-zº)=0.

Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x, y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:

z-zº = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri plokštuma, esanti stačiakampėje koordinačių sistemoje, nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P' ir P' yra pateiktos lygtimis A'x+B'y+C'z+D'=0 ir A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime P′ plokštumos normaliąją n′ (A′, B′, C′) ir P″ plokštumos normaliąją n″ (A″, B″, C″). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.

a yra tiesė, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų П′ ir П″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tai reiškia, kad taško koordinatės bus tam tikras šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip П′ ir П″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. tiesė a koordinačių sistemoje Oxyz (stačiakampė) erdvėje.

Šioje pamokoje apžvelgsime, kaip naudoti determinantą kuriant plokštumos lygtis. Jei nežinote, kas yra determinantas, eikite į pirmąją pamokos dalį - „ Matricos ir determinantai». Priešingu atveju rizikuojate nieko nesuprasti šiandieninėje medžiagoje.

Plokštumos lygtis trimis taškais

Kam išvis reikalinga plokštumos lygtis? Tai paprasta: žinodami tai, galime nesunkiai apskaičiuoti kampus, atstumus ir kitus niekšiškus uždavinius C2. Apskritai ši lygtis yra būtina. Todėl mes formuluojame problemą:

Užduotis. Yra trys erdvės taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Jų koordinatės:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Būtina parašyti plokštumos, einančios per šiuos tris taškus, lygtį. Ir lygtis turėtų atrodyti taip:

Ax + By + Cz + D = 0

kur skaičiai A , B , C ir D yra koeficientai, kuriuos iš tikrųjų norite rasti.

Na, kaip gauti plokštumos lygtį, jei žinomos tik taškų koordinatės? Lengviausias būdas yra pakeisti koordinates į lygtį Ax + By + Cz + D = 0. Gaunate trijų lygčių sistemą, kurią lengva išspręsti.

Daugelis studentų mano, kad šis sprendimas yra labai varginantis ir nepatikimas. Praėjusių metų matematikos egzaminas parodė, kad tikimybė padaryti skaičiavimo klaidą yra tikrai didelė.

Todėl pažangiausi mokytojai ėmė ieškoti paprastesnių ir elegantiškesnių sprendimų. Ir jie tai rado! Tiesa, gauta technika greičiausiai yra susijusi su aukštąja matematika. Asmeniškai man teko iškrapštyti visą federalinį vadovėlių sąrašą, kad įsitikintume, jog turime teisę naudoti šią techniką be jokio pagrindimo ir įrodymų.

Plokštumos per determinantą lygtis

Užteks pyktis, kimbame prie reikalo. Pirmiausia – teorema apie tai, kaip yra susiję matricos determinantas ir plokštumos lygtis.

Teorema. Pateikiame trijų taškų, per kuriuos turi būti nubrėžta plokštuma, koordinates: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Tada šios plokštumos lygtį galima parašyti determinantu:

Pavyzdžiui, pabandykime rasti porą plokštumų, kurios iš tikrųjų atsiranda C2 uždaviniuose. Pažiūrėkite, kaip greitai viskas skaičiuojama:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sudarome determinantą ir prilygstame nuliui:

Determinanto atidarymas:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kaip matote, skaičiuodamas skaičių d, lygtį šiek tiek pakoregavau, kad kintamieji x, y ir z būtų teisinga seka. Tai viskas! Plokštumos lygtis paruošta!

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Nedelsdami pakeiskite determinanto taškų koordinates:

Dar kartą išplečiant determinantą:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Taigi, vėl gaunama plokštumos lygtis! Vėlgi, paskutiniame žingsnyje turėjau pakeisti jame esančius ženklus, kad gaučiau „gražesnę“ formulę. Šiame sprendime to daryti nebūtina, bet vis tiek rekomenduojama – siekiant supaprastinti tolesnį problemos sprendimą.

Kaip matote, dabar daug lengviau parašyti plokštumos lygtį. Pakeičiame taškus į matricą, apskaičiuojame determinantą – ir viskas, lygtis paruošta.

Tai gali būti pamokos pabaiga. Tačiau daugelis studentų nuolat pamiršta, kas yra determinanto viduje. Pavyzdžiui, kurioje eilutėje yra x 2 arba x 3, o kurioje - tik x. Norėdami pagaliau išspręsti šią problemą, atsekime, iš kur kilęs kiekvienas skaičius.

Iš kur atsiranda formulė su determinantu?

Taigi, išsiaiškinkime, iš kur kyla tokia griežta lygtis su determinantu. Tai padės jums tai prisiminti ir sėkmingai pritaikyti.

Visos užduotyje C2 pasitaikančios plokštumos yra apibrėžtos trimis taškais. Šie taškai visada pažymėti brėžinyje arba netgi nurodyti tiesiogiai problemos tekste. Bet kokiu atveju, norėdami sudaryti lygtį, turime užrašyti jų koordinates:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Apsvarstykite dar vieną tašką mūsų plokštumoje su savavališkomis koordinatėmis:

T = (x, y, z)

Iš pirmųjų trijų paimame bet kurį tašką (pavyzdžiui, tašką M ) ir iš jo nubrėžiame vektorius į kiekvieną iš trijų likusių taškų. Mes gauname tris vektorius:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Dabar iš šių vektorių sudarykime kvadratinę matricą ir prilyginkime jos determinantą nuliui. Vektorių koordinatės taps matricos eilutėmis - ir mes gausime tą patį determinantą, kuris nurodytas teoremoje:

Ši formulė reiškia, kad ant vektorių MN , MK ir MT pastatytos dėžės tūris lygus nuliui. Todėl visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, savavališkas taškas T = (x, y, z) yra būtent tai, ko mes ieškojome.

Determinanto taškų ir eilučių pakeitimas

Determinantai turi keletą nuostabių savybių, dėl kurių tai dar lengviau C2 uždavinio sprendimas. Pavyzdžiui, mums nesvarbu, iš kurio taško brėžti vektorius. Todėl šie determinantai suteikia tokią pat plokštumos lygtį kaip ir aukščiau:

Taip pat galite sukeisti determinanto eilutes. Lygtis išliks nepakitusi. Pavyzdžiui, daugelis žmonių mėgsta rašyti tiesę su taško T = (x; y; z) koordinatėmis pačiame viršuje. Jei jums patogu, prašau:

Kai kuriuos klaidina tai, kad vienoje iš eilučių yra kintamieji x , y ir z , kurie neišnyksta pakeičiant taškus. Bet jie neturėtų išnykti! Pakeitę skaičius į determinantą, turėtumėte gauti tokią konstrukciją:

Tada determinantas išplečiamas pagal pamokos pradžioje pateiktą schemą ir gaunama standartinė plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Pažvelkite į pavyzdį. Jis yra paskutinis šios dienos pamokoje. Aš sąmoningai sukeisiu eilutes, kad įsitikinčiau, jog atsakymas bus ta pati plokštumos lygtis.

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Taigi, mes atsižvelgiame į 4 taškus:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pirmiausia sukurkime standartinį determinantą ir prilyginkime jį nuliui:

Determinanto atidarymas:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Tai štai, gavome atsakymą: x + y + z − 2 = 0 .

Dabar pertvarkykime kelias determinanto eilutes ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Pavyzdžiui, eilutę su kintamaisiais x, y, z parašykime ne apačioje, o viršuje:

Dar kartą išplėskime gautą determinantą:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Gavome lygiai tokią pat plokštuminę lygtį: x + y + z − 2 = 0. Taigi, tai tikrai nepriklauso nuo eilučių eiliškumo. Belieka surašyti atsakymą.

Taigi, pamatėme, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo eilučių sekos. Galima atlikti panašius skaičiavimus ir įrodyti, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo taško, kurio koordinates atimame iš kitų taškų.

Aukščiau nagrinėjamoje užduotyje naudojome tašką B 1 = (1, 0, 1), tačiau buvo visiškai įmanoma paimti C = (1, 1, 0) arba D 1 = (0, 1, 1). Apskritai, bet kuris taškas su žinomomis koordinatėmis, esantis norimoje plokštumoje.

Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) bendroje Dekarto koordinačių sistemoje.

Kad savavališkas taškas M(x, y, z) būtų toje pačioje plokštumoje kaip ir taškai M 1 , M 2 , M 3 , vektoriai turi būti lygiaverčiai.

(
) = 0

Šiuo būdu,

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis:

Plokštumos dviejų taškų ir plokštumai kolinerinio vektoriaus lygtis.

Tegu taškai M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ir vektorius
.

Sudarykime lygtį plokštumos, einančios per duotus taškus M 1 ir M 2 ir savavališką tašką M (x, y, z), lygiagretų vektoriui .

Vektoriai
ir vektorius
turi būti lygiagrečiai, t.y.

(
) = 0

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis vieno taško ir dviejų vektorių atžvilgiu,

kolinearinė plokštuma.

Tegu pateikti du vektorius
ir
, kolinearinės plokštumos. Tada savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai
turi būti lygiagreti.

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis pagal tašką ir normalųjį vektorių .

Teorema. Jeigu erdvėje duotas taškas M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), tada plokštumos, einančios per tašką M, lygtis 0 statmenai normaliajam vektoriui (A, B, C) atrodo kaip:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Įrodymas. Savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, sudarome vektorių . Nes vektorius - normalus vektorius, tada jis yra statmenas plokštumai, taigi, statmenas vektoriui
. Tada skaliarinė sandauga

= 0

Taigi gauname plokštumos lygtį

Teorema įrodyta.

Plokštumos atkarpomis lygtis.

Jei bendrojoje lygtyje Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, padalykite abi dalis iš (-D)

,

pakeičiant
, gauname plokštumos lygtį atkarpomis:

Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai su x, y, z ašimis.

Plokštumos lygtis vektorine forma.

kur

- dabartinio taško M(x, y, z) spindulys-vektorius,

Vienetinis vektorius, kurio statmens kryptis nukrenta į plokštumą nuo pradžios.

,  ir  yra šio vektoriaus suformuoti kampai su x, y, z ašimis.

p yra šio statmens ilgis.

Koordinatėse ši lygtis turi tokią formą:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax + Vu + Cz + D \u003d 0 yra:

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P (4; -3; 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios į šią plokštumą, pagrindas.

Taigi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, naudokite formulę:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per du taškus P(2; 0; -1) lygtį ir

Q(1; -1; 3) yra statmena plokštumai 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normalus vektorius plokštumai 3x + 2y - z + 5 = 0
lygiagrečiai norimai plokštumai.

Mes gauname:

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A(2, -1, 4) lygtį ir

В(3, 2, -1) statmenai plokštumai X + adresu + 2z – 3 = 0.

Norima plokštumos lygtis turi tokią formą: A x+ B y+C z+ D = 0, normalusis vektorius šiai plokštumai (A, B, C). Vektorius
(1, 3, -5) priklauso plokštumai. Mums duota plokštuma, statmena norimai, turi normalųjį vektorių (1, 1, 2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o plokštumos yra viena kitai statmenos, tada

Taigi normalus vektorius (11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi tenkinti šios plokštumos lygtį, t.y. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.

Iš viso gauname plokštumos lygtį: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4, -3, 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Normaliojo vektoriaus koordinačių radimas
= (4, -3, 12). Norima plokštumos lygtis yra tokia: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Norėdami rasti koeficientą D, pakeičiame taško P koordinates į lygtį:

16 + 9 + 144 + D = 0

Iš viso gauname norimą lygtį: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Pavyzdys. Duotos piramidės viršūnių koordinates A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Raskite briaunos ilgį A 1 A 2 .

Raskite kampą tarp kraštinių A 1 A 2 ir A 1 A 4.

Raskite kampą tarp briaunos A 1 A 4 ir paviršiaus A 1 A 2 A 3 .

Pirmiausia suraskite normalųjį vektorių veidui A 1 A 2 A 3 kaip vektorių kryžminė sandauga
ir
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Raskite kampą tarp normalaus vektoriaus ir vektoriaus
.

-4 – 4 = -8.

Norimas kampas  tarp vektoriaus ir plokštumos bus lygus  = 90 0 - .

Raskite veido plotą A 1 A 2 A 3.

Raskite piramidės tūrį.

Raskite plokštumos А 1 А 2 А 3 lygtį.

Mes naudojame formulę plokštumos, einančios per tris taškus, lygčiai.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštosios matematikos kursas“ galite paleisti programą, kuri išspręs aukščiau pateiktą pavyzdį bet kurioms piramidės viršūnių koordinatėms.

Dukart spustelėkite piktogramą, kad paleistumėte programą:

Atsidariusiame programos lange įveskite piramidės viršūnių koordinates ir paspauskite Enter. Taigi visus sprendimo taškus galima gauti po vieną.

Pastaba: kad paleistumėte programą, kompiuteryje turi būti įdiegta Maple ( Waterloo Maple Inc.) bet kuri versija, prasidedanti MapleV Release 4.