Plokštumos lygtis, plokštumos lygties tipai. Įvairios plokštumos lygtys erdvėje
Galima nustatyti Skirtingi keliai(vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Turint tai omenyje, plokštumos lygtis gali turėti Skirtingos rūšys. Taip pat tam tikromis sąlygomis plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime parašyti bendrąją plokštumos lygtį ir ne tik.
Normalioji lygties forma
Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę koordinačių sistemą XYZ. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus atleistas atspirties taškas A. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jai statmena.
Pažymėkite P savavališką tašką Q=(x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėsime raide p. Vektoriaus α ilgis yra p=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra atitinkamai kampai, susidarantys tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Tam tikro taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovi reikšmė, lygi р: (р,Ʋ) = р(р≥0).
Ši lygtis turi prasmę, kai p=0. Vienintelis dalykas, kad plokštuma P šiuo atveju kirs tašką O (α=0), kuris yra pradžios taškas, o iš taško O atleistas vieneto vektorius Ʋ bus statmenas P, nepaisant jo krypties, o tai reiškia kad vektorius Ʋ nustatomas iš ženklo tikslumo. Ankstesnė lygtis yra mūsų P plokštumos lygtis, išreikšta vektorinė forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:
P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.
Bendroji lygtis
Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę duotajai, kuri apibrėžia tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:
Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.
Plokštumos lygtys. Ypatingi atvejai
Lygtis in bendras vaizdas gali būti pakeistas esant papildomoms sąlygoms. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.
Tarkime, kad koeficientas A lygus 0. Tai reiškia, kad duotoji plokštuma lygiagreti duotai ašiai Ox. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.
Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:
- Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
- Antra, jei С=0, tai lygtis transformuojama į Ах+Ву+D=0, kas parodys lygiagretumą duotai ašiai Oz.
- Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
- Ketvirta, jei A=B=0, tada lygtis pasikeis į Cz+D=0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
- Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma į Oyz yra lygiagreti.
- Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.
Lygties tipas segmentais
Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D yra ne nulis, (0) lygties forma gali būti tokia:
x/a + y/b + z/c = 1,
kuriame a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.
Gauname rezultatą Verta pažymėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0), o Oz - (0,0,c) .
Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai pavaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.
Normaliosios vektoriaus koordinatės
Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra koeficientai bendroji lygtis duota plokštuma, tai yra n (A, B, C).
Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.
Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma x/a + y/b + z/c = 1, taip pat naudojant bendrąją lygtį, galima užrašyti bet kurio duotosios plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1 /a + 1/b + 1/ nuo).
Reikia pažymėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausios yra užduotys, kurias sudaro plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymas, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemos.
Plokštumos lygties vaizdas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates
Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju (normaliuoju) duotai plokštumai.
Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) Oxyz yra pateikti:
- taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
- nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.
Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.
Erdvėje pasirenkame bet kurį savavališką tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x, y, z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ spindulio vektorius (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Ortogonalumo sąlygą rašome naudodami skaliarinį sandaugą:
[MₒM, n] = 0.
Kadangi MₒM \u003d r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:
Ši lygtis gali būti kitokia. Tam naudojamos skaliarinio sandaugos savybės ir Kairioji pusė lygtys. = -. Jei žymima c, tada bus gauta ši lygtis: - c \u003d 0 arba \u003d c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą į normalią nurodytų taškų, priklausančių plokštumai, spindulio vektorių vektorių.
Dabar galite gauti mūsų plokštumos vektorinės lygties rašymo koordinačių formą = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, o n = A*i+B *j+C*k, turime:
Pasirodo, turime lygtį plokštumai, kertančiai tašką, statmeną normaliajai n:
A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Plokštumos lygties vaizdas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma, vaizdas
Apibrėžiame du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴).
Dabar galime sudaryti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per turimus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) yra lygiagrečios duotam vektoriui a.
Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;zz′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.
Taigi, mūsų plokštumos erdvėje lygtis atrodys taip:
Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas
Tarkime, kad turime tris taškus: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai tiesei. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tik ji yra vienintelė ir nepakartojama. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′, y′, z′), jos lygties forma bus tokia:
Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:
Dabar galime kurti vienalytė sistema su nežinomais u, v, w:
Mūsų atvejis x,y arba z yra savavališkas taškas, atitinkantis (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje parodyta lygčių sistema tenkina vektorių N (A, B, C), kuris yra nereikšmingas. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.
(1) lygtis, kurią gavome, yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai eina per 3 taškus, ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą, palyginti su pirmosios eilutės elementais. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums iškeltą užduotį.
Dvikampis kampas tarp plokštumų
Dvikampis kampas yra erdvinė geometrinė figūra, sudaryta iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.
Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:
Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni nurodytoms plokštumoms. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), kuris yra tarp šių plokštumų. Skaliarinis produktas atrodo kaip:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
būtent todėl
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.
Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du (dvikampius) kampus: φ 1 ir φ 2 . Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklais, ty cos φ 1 =-cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelį kampą φ lygtyje cos φ= NN 1 /| N||N 1 | bus pakeistas π-φ.
Statmenos plokštumos lygtis
Plokštumos vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra 90 laipsnių. Naudodami aukščiau aprašytą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime teigti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Lygiagrečios plokštumos lygtis
Lygiagrečios yra dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų.
Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.
Atstumas iki plokštumos nuo taško
Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, plokštumos P lygtį turite paversti normalia forma:
(ρ,v)=p (p≥0).
Šiuo atveju ρ(x,y,z) yra mūsų taško Q spindulio vektorius, esantis P, p yra statmeno P, kuris buvo atleistas iš nulinio taško, ilgis, v yra vieneto vektorius, esantis a kryptis.
Kai kurio taško Q \u003d (x, y, z), priklausančio P, spindulio vektoriaus ρ-ρº, taip pat tam tikro taško Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) spindulio vektoriaus skirtumas yra toks vektorius, kurio projekcijos į v absoliuti reikšmė yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) iki P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet
(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).
Taigi pasirodo
d=|(ρ 0 ,v)-p|.
Taigi rasime gautos išraiškos absoliučią reikšmę, tai yra norimą d.
Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:
d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Jeigu duotas taškas Q 0 yra kitoje P plokštumos pusėje, kaip ir pradžios taškas, taigi tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.
Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:
d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.
Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)> р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.
Liestinės plokštuma ir jos lygtis
Paviršiaus liestinės plokštuma sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.
Esant tokiai paviršiaus lygties F (x, y, z) \u003d 0 formai, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº (xº, yº, zº) atrodys taip:
F x (xº, yº, zº) (x-xº)+ F x (xº, yº, zº) (y-yº)+ F x (xº, yº, zº) (z-zº)=0.
Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x, y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:
z-zº = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).
Dviejų plokštumų sankirta
Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri stačiakampėje koordinačių sistemoje esanti plokštuma nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ yra pateiktos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime P′ plokštumos normaliąją n′ (A′, B′, C′) ir P″ plokštumos normaliąją n″ (A″, B″, C″). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.
a yra tiesė, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų П′ ir П″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tai reiškia, kad taško koordinatės bus tam tikras šios lygčių sistemos sprendimas:
Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip П′ ir П″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. tiesė a koordinačių sistemoje Oxyz (stačiakampė) erdvėje.
1. Galima įrodyti teiginį, kad jei erdvėje duota stačiakampė koordinačių sistema OXYZ, tai bet kuri pirmojo laipsnio lygtis su trimis nežinomaisiais x, y, z šios sistemos atžvilgiu nustato tam tikrą plokštumą. R. Ši lygtis vadinama bendrąja plokštumos lygtimi ir turi tokią formą:
BET X+ V adresu+ C z+D=0 (17)
(palyginkite su bendrąja plokštumos tiesės lygtimi (15), kuri iš to išplaukia, kai z = 0) ir apibrėžia plokštumą R, statmenai vektoriui (A, B, C).
Vektorius – normalios plokštumos vektorius R.
(17) lygtis yra lygiavertė šioms lygtims.
2. Plokštumos, einančios per nurodytą tašką M( x 0, y 0, z 0):
BET( X- X 0) + B( adresu-adresu 0) + C( z-z 0) = 0.
3. Plokštumos atkarpomis lygtis
,
kur 
; 
; 
.
4. Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, lygtis parašyta kaip determinantas
,
kur ( X 1 , y 1 , z 1), (X 2 , y 2 , z 2), (X 3 , y 3 , z 3) - duotųjų taškų koordinatės.
Kampas tarp dviejų plokštumų apibrėžiamas kaip kampas tarp jų normaliųjų vektorių n 1 ir n 2. Taigi lygiagrečių plokštumų sąlyga
R 1 ir R 2:
ir dviejų plokštumų statmenumo sąlyga:
BET 1 BET 2 + V 1 IN 2 + C 1 NUO 2 = 0 .
29 pavyzdys. Per tašką KAM(1, -3, 2) nubrėžkite plokštumą, lygiagrečią vektoriams
a =(1, 2, -3) ir b=(2,-1,-1) .
Sprendimas. Tegul M ( X, adresu, z) yra savavališkas reikiamos plokštumos taškas. Vektorius
KM = (X- 1, adresu+ 3, z- 2) yra šioje plokštumoje ir vektoriai bet Ir b yra lygiagrečiai su ja. Taigi vektoriai KM , ir b yra lygiagrečiai. Tada jų mišrus produktas yra lygus nuliui:
.
Taigi - (x -1) - (y + 3) - 5 (z - 2) \u003d 0 arba x+ 7y + 5z + 10 = 0. Tai norima plokštumos lygtis.
Įvairių tipų tiesės erdvėje lygtys
Tiesią erdvę erdvėje galima apibrėžti taip:
1) dviejų nesutampančių ir nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linijos R 1 ir R 2:
;
2) tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtys M(X 0 , adresu 0 , z 0) vektoriaus nurodyta kryptimi L = (m, n, p):
,
kuris vadinamas kanoninė tiesės lygtis kosmose;
3) tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtys M(X 1 , adresu 1 , z 1)
Ir M(x 2 , y 2 , z 2):
;
4) parametrinės lygtys:
.
30 pavyzdys. Suveskite tiesės lygtį į kanonines ir parametrines formas
.
Sprendimas. Tiesi linija apibrėžiama kaip dviejų plokštumų susikirtimo linija. Šių plokštumų normalieji vektoriai n 1 = (3,1,-2) ir n 2 = (4,-7,-1) yra statmenos norimai tiesei, todėl jų vektorinė sandauga [ n 1 , n 2 ] = L lygiagrečiai jam ir vektoriui [ n 1 , n 2 ] (arba bet koks kolineris jai) gali būti laikomas krypties vektoriumi L norima tiesi linija.
[n 1 , n 2 ] = 
.
Paimkime už L = 3i + j + 5k. Belieka rasti bet kurį duotosios linijos tašką. Tam nustatome, pavyzdžiui, z = 0. Gauname
.
Išspręsdami šią sistemą, randame X = 1, adresu= - 2. Taigi taškas KAM(1, -2, 0) priklauso nurodytai linijai, o jos kanoninė lygtis yra
Ankstesniame skyriuje apie plokštumą erdvėje mes svarstėme problemą geometrijos požiūriu. Dabar pereikime prie plokštumos aprašymo naudojant lygtis. Žvelgiant į plokštumą iš algebros pusės, reikia atsižvelgti į pagrindinius plokštumos lygties tipus trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Plokštumos lygties apibrėžimas
1 apibrėžimasLėktuvas yra geometrinė figūra, susidedanti iš atskirų taškų. Kiekvienas trimatės erdvės taškas atitinka koordinates, nurodytas trim skaičiais. Plokštumos lygtis nustato ryšį tarp visų taškų koordinačių.
Plokštumos lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje 0xz yra lygties su trimis kintamaisiais x, y ir z forma. Bet kurio taško, esančio duotoje plokštumoje, koordinatės tenkina lygtį, bet kurių kitų taškų, esančių už duotosios plokštumos, koordinatės netenkina lygties.
Pakeitus tam tikros plokštumos taško koordinates į plokštumos lygtį, lygtis paverčiama tapatybe. Pakeitus taško, esančio už plokštumos, koordinates, lygtis virsta neteisinga lygybe.
Plokštumos lygtis gali būti kelių formų. Priklausomai nuo sprendžiamų uždavinių specifikos, plokštumos lygtis gali būti užrašoma įvairiai.
Bendroji plokštumos lygtis
Suformuluojame teoremą, o tada parašome plokštumos lygtį.
1 teorema
Bet kuri stačiakampės koordinačių sistemos O x y z plokštuma trimatėje erdvėje gali būti pateikta A x + B y + C z + D = 0 formos lygtimi, kur A, B, C ir D yra keletas realių skaičių, kurie tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Bet kuri lygtis, kurios forma yra A x + B y + C z + D = 0, apibrėžia plokštumą trimatėje erdvėje
Lygtis, kurios forma yra A x + B y + C z + D = 0, vadinama bendrąja plokštumos lygtimi. Jei nepateiksite skaičių A, B, C Ir D konkrečias reikšmes, tada gauname plokštumos lygtį bendra forma.
Svarbu suprasti, kad lygtis λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 lygiai taip pat apibrėš plokštumą. Lygtyje λ yra tikrasis skaičius, kuris nėra nulis. Tai reiškia, kad lygybės A x + B y + C z + D = 0 ir λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 yra lygiavertės.
1 pavyzdys
Plokštumos x - 2 y + 3 z - 7 = 0 ir - 2 x + 4 y - 2 3 z + 14 = 0 bendrąsias lygtis tenkina tų pačių taškų, esančių trimatėje erdvėje, koordinatės. Tai reiškia, kad jie apibrėžia tą pačią plokštumą.
Pateikiame aukščiau aptartos teoremos paaiškinimus. Plokštuma ir jos lygtis yra neatskiriamos, nes kiekviena lygtis A x + B y + C z + D = 0 atitinka tam tikros stačiakampės koordinačių sistemos plokštumą, o kiekviena plokštuma, esanti trimatėje erdvėje, atitinka jos formos lygtį. A x + B y + C z + D = 0 .
Plokštumos lygtis A x + B y + C z + D = 0 gali būti išsami ir nepilna. Visi koeficientai A, B, C ir D pilnoje lygtyje yra ne nulis. Priešingu atveju bendroji plokštumos lygtis laikoma neišsamia.
Plokštumos, pateiktos nepilnomis lygtimis, gali būti lygiagrečios koordinačių ašims, eiti per koordinačių ašis, sutapti su koordinačių plokštumomis arba būti joms lygiagrečios, eiti per koordinačių pradinę vietą.
2 pavyzdys
Apsvarstykite lygtimi 4 · y - 5 · z + 1 = 0 pateiktos plokštumos padėtį erdvėje.
Ji lygiagreti x ašiai ir statmena O y z plokštumai. Lygtis z = 0 apibrėžia koordinačių plokštumą O y z , o 3 · x - y + 2 · z = 0 formos plokštumos bendroji lygtis atitinka plokštumą, kuri eina per pradžios tašką.
Svarbus patikslinimas: koeficientai A, B ir C bendrojoje plokštumos lygtyje yra plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės.
Kai žmonės kalba apie plokštumos lygtį, jie turi omenyje bendrąją plokštumos lygtį. Visų tipų plokštumos lygtys, kurias analizuosime kitame straipsnio skyriuje, gaunamos iš bendrosios plokštumos lygties.
Normalios plokštumos lygtis
Normalioji plokštumos lygtis yra A x + B y + C z + D = 0 formos plokštumos bendroji lygtis, kuri tenkina šias sąlygas: vektoriaus ilgis n → = (A , B , C ) yra lygus vienetui, ty n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 ir D ≤ 0.
Taip pat normalioji plokštumos lygtis gali būti parašyta kaip cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 , kur p yra neneigiamas skaičius, lygus atstumui nuo pradžios iki plokštumos, o cos α , cos β , cos γ yra nurodytos vienetinio ilgio plokštumos normaliojo vektoriaus krypties kosinusai.
n → = (cos α , cos β , cos γ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
Tai yra, pagal normaliąją plokštumos lygtį stačiakampės koordinačių sistemos O x y z plokštuma yra nutolusi nuo pradžios per atstumą pšios plokštumos normaliojo vektoriaus teigiama kryptimi n → = (cos α , cos β , cos γ) . Jeigu p yra nulis, tada plokštuma eina per pradinę vietą.
3 pavyzdys
Plokštuma pateikiama bendrosios plokštumos lygtimi, kurios forma - 1 4 x - 3 4 y + 6 4 z - 7 = 0 . D = -7 ≤ 0, šios plokštumos normaliojo vektoriaus n → = - 1 4, - 3 4 , 6 4 ilgis lygus vienetui, nes n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 = 1 . Atitinkamai, ši bendroji plokštumos lygtis yra normalioji plokštumos lygtis.
Norėdami išsamiau ištirti normalią plokštumos lygtį, rekomenduojame pereiti į atitinkamą skyrių. Temoje pateikiama problemų analizė ir tipiniai pavyzdžiai, taip pat būdai, kaip bendrąją plokštumos lygtį perkelti į normalią formą.
Plokštuma nukerpa koordinačių ašyse O x, O y ir O z tam tikro ilgio atkarpas. Atkarpų ilgiai pateikiami realiaisiais skaičiais a, b ir c, kurie skiriasi nuo nulio. Plokštumos lygtis atkarpose yra x a + y b + z c = 1 . Skaičių a, b ir c ženklas rodo, kuria kryptimi nuo nulinės reikšmės turi būti braižomos atkarpos koordinačių ašyse.
4 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje pastatykime plokštumą, kurią duoda plokštumos formulės lygtis atkarpose x - 5 + y - 4 + z 4 = 1.
Taškai nuo pradžios neigiama kryptimi pašalinami 5 vienetais išilgai abscisių ašies, 4 vienetais neigiama kryptimi išilgai ordinačių ašies ir 4 vienetais teigiama kryptimi išilgai taikomosios ašies. Pažymime taškus ir sujungiame juos tiesiomis linijomis.
Gauto trikampio plokštuma yra plokštuma, atitinkanti atkarpų plokštumos lygtį, kurios forma x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .
Išsamesnė informacija apie plokštumos lygtį segmentais, plokštumos lygtį segmentais privedimą prie bendrosios plokštumos lygties yra atskirame straipsnyje. Taip pat yra nemažai problemų sprendimų ir pavyzdžių šia tema.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Plokštumos lygtis. Kaip parašyti lygtį plokštumai?
Abipusis plokštumų išdėstymas. Užduotys
Erdvinė geometrija nėra daug sudėtingesnė nei „plokščia“ geometrija, o mūsų skrydžiai erdvėje prasideda šiuo straipsniu. Norint suprasti temą, reikia gerai suprasti vektoriai, be to, pageidautina išmanyti plokštumos geometriją – bus daug panašumų, daug analogijų, todėl informacija bus daug geriau įsisavinama. Mano pamokų serijoje 2D pasaulis atidaromas straipsniu Tiesės lygtis plokštumoje. Bet dabar Betmenas nulipo nuo plokščiaekranio televizoriaus ir paleidžiamas iš Baikonūro kosmodromo.
Pradėkime nuo piešinių ir simbolių. Schematiškai plokštumą galima nubraižyti kaip lygiagretainį, kuris sukuria erdvės įspūdį: 
Plokštuma begalinė, bet mes turime galimybę pavaizduoti tik jos dalelę. Praktikoje, be lygiagretainio, dar brėžiamas ovalas ar net debesis. Dėl techninių priežasčių man patogiau vaizduoti lėktuvą taip ir tokioje pozicijoje. Tikras plokštumas, kurias nagrinėsime praktiniuose pavyzdžiuose, galima išdėstyti bet kaip – mintyse paimkite piešinį į rankas ir pasukite jį erdvėje, suteikdami plokštumai bet kokį nuolydį, bet kokį kampą.
Žymėjimas: įprasta plokštumus žymėti mažomis graikiškomis raidėmis, matyt, kad jų nesupainiotų su tiesiai į lėktuvą arba su tiesiai erdvėje. Aš įpratau naudoti raidę. Piešinyje tai raidė „sigma“, ir visai ne skylutė. Nors, skylėtas lėktuvas, tai tikrai labai juokinga.
Kai kuriais atvejais patogu naudoti tas pačias graikiškas raides su apatiniais indeksais plokštumoms žymėti, pavyzdžiui, .
Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai lemia trys skirtingi taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Todėl trijų raidžių lėktuvų žymėjimai yra gana populiarūs – pagal jiems priklausančius taškus, pavyzdžiui, ir pan. Dažnai raidės rašomos skliausteliuose: 
, kad nesupainiotumėte plokštumos su kita geometrine figūra.
Patyrusiems skaitytojams duosiu spartusis meniu:
- Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir du vektorius?
- Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir normalųjį vektorių?
ir mes ilgai lauksime:
Bendroji plokštumos lygtis
Bendroji plokštumos lygtis turi formą , kur koeficientai tuo pačiu metu yra nuliniai.
Nemažai teorinių skaičiavimų ir praktinių uždavinių galioja ir įprastiniam ortonormaliniam, ir afininiam erdvės pagrindui (jei nafta yra nafta, grįžkite į pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas). Paprastumo dėlei manysime, kad visi įvykiai vyksta ortonormaliu pagrindu ir Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje.
O dabar treniruokime šiek tiek erdvinės vaizduotės. Viskas gerai, jei jums tai blogai, dabar mes tai šiek tiek patobulinsime. Net žaidžiant ant nervų reikia praktikos.
Bendriausiu atveju, kai skaičiai nėra lygūs nuliui, plokštuma kerta visas tris koordinačių ašis. Pavyzdžiui, taip:
Dar kartą kartoju, kad lėktuvas tęsiasi neribotą laiką visomis kryptimis, o mes turime galimybę pavaizduoti tik dalį jo.
Apsvarstykite paprasčiausias plokštumų lygtis:
Kaip suprasti šią lygtį? Pagalvokite apie tai: „Z“ VISADA, bet kokios „X“ ir „Y“ reikšmės yra lygios nuliui. Tai yra „gimtosios“ koordinačių plokštumos lygtis. Iš tiesų, formaliai lygtis gali būti perrašyta taip: 
, iš kur aiškiai matyti, kad mums nesvarbu, kokias reikšmes turi „x“ ir „y“, svarbu, kad „z“ būtų lygus nuliui.
Panašiai:
yra koordinačių plokštumos lygtis ;
yra koordinačių plokštumos lygtis.
Šiek tiek apsunkinkime problemą, apsvarstykime plokštumą (čia ir toliau pastraipoje darome prielaidą, kad skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui). Perrašykime lygtį į formą: . Kaip tai suprasti? „X“ yra VISADA, nes bet kuri „y“ ir „z“ reikšmė yra lygi tam tikram skaičiui. Ši plokštuma lygiagreti koordinačių plokštumai. Pavyzdžiui, plokštuma lygiagreti plokštumai ir eina per tašką.
Panašiai:
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis;
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis.
Pridėti narių: . Lygtį galima perrašyti taip: , tai yra, "Z" gali būti bet koks. Ką tai reiškia? „X“ ir „Y“ yra sujungti santykiu, kuris plokštumoje nubrėžia tam tikrą tiesią liniją (atpažinsite plokštumos tiesės lygtis?). Kadangi Z gali būti bet kas, ši linija „atkartojama“ bet kuriame aukštyje. Taigi lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių ašiai
Panašiai:
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis;
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis.
Jei laisvieji nariai lygūs nuliui, tai plokštumos tiesiogiai eis per atitinkamas ašis. Pavyzdžiui, klasikinis „tiesioginis proporcingumas“:. Nubrėžkite tiesią liniją plokštumoje ir mintyse padauginkite ją aukštyn ir žemyn (nes „z“ yra bet koks). Išvada: lygties nurodyta plokštuma eina per koordinačių ašį.
Apžvalgą baigiame: plokštumos lygtis 
eina per kilmę. Na, čia visiškai akivaizdu, kad taškas atitinka pateiktą lygtį.
Ir galiausiai atvejis, parodytas brėžinyje: - plokštuma draugauja su visomis koordinačių ašimis, tuo tarpu ji visada „nukerta“ trikampį, kuris gali būti bet kuriame iš aštuonių oktantų.
Tiesinės nelygybės erdvėje
Norint suprasti informaciją, būtina gerai mokytis tiesinės nelygybės plokštumoje nes daug kas bus panašiai. Pastraipa bus trumpa apžvalga su keliais pavyzdžiais, nes medžiaga praktikoje yra gana reta.
Jei lygtis apibrėžia plokštumą, tai nelygybės
paklausti pustarpiai. Jei nelygybė nėra griežta (paskutinės dvi sąraše), tai nelygybės sprendinys, be pustarpės, apima ir pačią plokštumą.
5 pavyzdys
Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių 
.
Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime šį vektorių . Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai: 
Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .
Kaip rasti vieneto vektorių? Norėdami rasti vieneto vektorių, jums reikia kas vektoriaus koordinatė, padalinta iš vektoriaus ilgio.
Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:
Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:
Atsakymas: 
Patikrinti: , kurį reikėjo patikrinti.
Skaitytojai, atidžiai išstudijavę paskutinę pamokos pastraipą, tikriausiai tai pastebėjo vieneto vektoriaus koordinatės yra būtent vektoriaus krypties kosinusai:
Nukrypkime nuo išardytos problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia rasti jo krypties kosinusus (žr. paskutines pamokos užduotis Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų taip pat rasite vienetinį vektorių, esantį kolinerėje su duotuoju. Tiesą sakant, dvi užduotys viename butelyje.
Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.
Mes išsiaiškinome įprasto vektoriaus žvejybą, dabar atsakysime į priešingą klausimą:
Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir normalųjį vektorių?
Ši standi normalaus vektoriaus ir taško konstrukcija yra gerai žinoma smiginio taikinio. Prašome ištiesti ranką į priekį ir mintyse pasirinkti bet kokį erdvės tašką, pavyzdžiui, mažą katę bufetėje. Akivaizdu, kad per šį tašką galite nubrėžti vieną plokštumą, statmeną jūsų rankai.
Plokštumos, einančios per vektoriui statmeną tašką, lygtis išreiškiama formule:
Šioje pamokoje apžvelgsime, kaip naudoti determinantą kuriant plokštumos lygtis. Jei nežinote, kas yra determinantas, eikite į pirmąją pamokos dalį - „ Matricos ir determinantai». Priešingu atveju rizikuojate nieko nesuprasti šiandieninėje medžiagoje.
Plokštumos lygtis trimis taškais
Kam išvis reikalinga plokštumos lygtis? Tai paprasta: žinodami tai, galime nesunkiai apskaičiuoti kampus, atstumus ir kitus niekšiškus uždavinius C2. Apskritai ši lygtis yra būtina. Todėl mes formuluojame problemą:
Užduotis. Yra trys erdvės taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Jų koordinatės:
M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);Būtina parašyti plokštumos, einančios per šiuos tris taškus, lygtį. Ir lygtis turėtų atrodyti taip:
Ax + By + Cz + D = 0
kur skaičiai A , B , C ir D yra koeficientai, kuriuos iš tikrųjų norite rasti.
Na, kaip gauti plokštumos lygtį, jei žinomos tik taškų koordinatės? Lengviausias būdas yra pakeisti koordinates į lygtį Ax + By + Cz + D = 0. Gaunate trijų lygčių sistemą, kurią lengva išspręsti.
Daugelis studentų mano, kad šis sprendimas yra labai varginantis ir nepatikimas. Praėjusių metų matematikos egzaminas parodė, kad tikimybė padaryti skaičiavimo klaidą yra tikrai didelė.
Todėl pažangiausi mokytojai ėmė ieškoti paprastesnių ir elegantiškesnių sprendimų. Ir jie tai rado! Tiesa, gauta technika greičiausiai yra susijusi su aukštąja matematika. Asmeniškai man teko iškrapštyti visą federalinį vadovėlių sąrašą, kad įsitikintume, jog turime teisę naudoti šią techniką be jokio pagrindimo ir įrodymų.
Plokštumos per determinantą lygtis
Užteks pyktis, kimbame prie reikalo. Pirmiausia – teorema apie tai, kaip yra susiję matricos determinantas ir plokštumos lygtis.
Teorema. Pateikiame trijų taškų, per kuriuos turi būti nubrėžta plokštuma, koordinates: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Tada šios plokštumos lygtį galima parašyti determinantu:
Pavyzdžiui, pabandykime rasti porą plokštumų, kurios iš tikrųjų atsiranda C2 uždaviniuose. Pažiūrėkite, kaip greitai viskas skaičiuojama:
A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
Sudarome determinantą ir prilygstame nuliui:
Determinanto atidarymas:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Kaip matote, skaičiuodamas skaičių d, lygtį šiek tiek pakoregavau, kad kintamieji x, y ir z būtų teisinga seka. Tai viskas! Plokštumos lygtis paruošta!
Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);
Nedelsdami pakeiskite determinanto taškų koordinates:
Dar kartą išplečiant determinantą:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Taigi, vėl gaunama plokštumos lygtis! Vėlgi, paskutiniame žingsnyje turėjau pakeisti jame esančius ženklus, kad gaučiau „gražesnę“ formulę. Šiame sprendime to daryti nebūtina, bet vis tiek rekomenduojama – siekiant supaprastinti tolesnį problemos sprendimą.
Kaip matote, dabar daug lengviau parašyti plokštumos lygtį. Pakeičiame taškus į matricą, apskaičiuojame determinantą – ir viskas, lygtis paruošta.
Tai gali būti pamokos pabaiga. Tačiau daugelis studentų nuolat pamiršta, kas yra determinanto viduje. Pavyzdžiui, kurioje eilutėje yra x 2 arba x 3, o kurioje - tik x. Norėdami pagaliau išspręsti šią problemą, atsekime, iš kur kilęs kiekvienas skaičius.
Iš kur atsiranda formulė su determinantu?
Taigi, išsiaiškinkime, iš kur kyla tokia griežta lygtis su determinantu. Tai padės jums tai prisiminti ir sėkmingai pritaikyti.
Visos užduotyje C2 pasitaikančios plokštumos yra apibrėžtos trimis taškais. Šie taškai visada pažymėti brėžinyje arba netgi nurodyti tiesiogiai problemos tekste. Bet kokiu atveju, norėdami sudaryti lygtį, turime užrašyti jų koordinates:
M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).
Apsvarstykite dar vieną tašką mūsų plokštumoje su savavališkomis koordinatėmis:
T = (x, y, z)
Iš pirmųjų trijų paimame bet kurį tašką (pavyzdžiui, tašką M ) ir iš jo nubrėžiame vektorius į kiekvieną iš trijų likusių taškų. Mes gauname tris vektorius:
MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).
Dabar iš šių vektorių sudarykime kvadratinę matricą ir prilyginkime jos determinantą nuliui. Vektorių koordinatės taps matricos eilutėmis - ir mes gausime tą patį determinantą, kuris nurodytas teoremoje:
Ši formulė reiškia, kad ant vektorių MN , MK ir MT pastatytos dėžės tūris lygus nuliui. Todėl visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, savavališkas taškas T = (x, y, z) yra būtent tai, ko mes ieškojome.
Determinanto taškų ir eilučių pakeitimas
Determinantai turi keletą nuostabių savybių, dėl kurių tai dar lengviau C2 uždavinio sprendimas. Pavyzdžiui, mums nesvarbu, iš kurio taško brėžti vektorius. Todėl šie determinantai suteikia tokią pat plokštumos lygtį kaip ir aukščiau:
Taip pat galite sukeisti determinanto eilutes. Lygtis išliks nepakitusi. Pavyzdžiui, daugelis žmonių mėgsta rašyti tiesę su taško T = (x; y; z) koordinatėmis pačiame viršuje. Jei jums patogu, prašau:
Kai kuriuos klaidina tai, kad vienoje iš eilučių yra kintamieji x , y ir z , kurie neišnyksta pakeičiant taškus. Bet jie neturėtų išnykti! Pakeitę skaičius į determinantą, turėtumėte gauti tokią konstrukciją:
Tada determinantas išplečiamas pagal pamokos pradžioje pateiktą schemą ir gaunama standartinė plokštumos lygtis:
Ax + By + Cz + D = 0
Pažvelkite į pavyzdį. Jis yra paskutinis šios dienos pamokoje. Aš sąmoningai sukeisiu eilutes, kad įsitikinčiau, jog atsakymas bus ta pati plokštumos lygtis.
Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
Taigi, mes atsižvelgiame į 4 taškus:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Pirmiausia sukurkime standartinį determinantą ir prilyginkime jį nuliui:
Determinanto atidarymas:
a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Tai štai, gavome atsakymą: x + y + z − 2 = 0 .
Dabar pertvarkykime kelias determinanto eilutes ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Pavyzdžiui, eilutę su kintamaisiais x, y, z parašykime ne apačioje, o viršuje:
Dar kartą išplėskime gautą determinantą:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Gavome lygiai tokią pat plokštuminę lygtį: x + y + z − 2 = 0. Taigi, tai tikrai nepriklauso nuo eilučių eiliškumo. Belieka surašyti atsakymą.
Taigi, pamatėme, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo eilučių sekos. Galime atlikti panašius skaičiavimus ir įrodyti, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo taško, kurio koordinates atimame iš kitų taškų.
Aukščiau nagrinėjamoje užduotyje naudojome tašką B 1 = (1, 0, 1), tačiau buvo visiškai įmanoma paimti C = (1, 1, 0) arba D 1 = (0, 1, 1). Apskritai, bet kuris taškas su žinomomis koordinatėmis, esantis norimoje plokštumoje.
